Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma
:
(i)
;
(ii)
;
(iii)
;
(iv)
;
(v)
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Passo 1
O enunciado pede para expressar cada número complexo dado na forma
com
. Os números são:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) ;
(v) .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Passo 2
Regra fundamental que vou usar (fórmula de Euler):
Isso significa que, para qualquer ângulo
, o número complexo
já está na forma
com
Dica prática para a prova: reduza
a um ângulo conhecido (usando periódica
ou simetrias) e conheça os valores exatos de
e
nos ângulos notáveis
, etc. Também lembre que
e
.
Passo 3
Calcular (i)
.
O ângulo é
. Usando Euler:
Os valores conhecidos são
e
. Portanto
Passo 4
Calcular (ii)
.
Primeiro,
. Usando paridade:
Logo
. Multiplicando por
:
Na forma
isso é
.
Passo 5
Calcular (iii)
.
Use Euler:
Os valores conhecidos:
e
. Portanto
Multiplicando por
:
ou seja
.
Passo 6
Calcular (iv)
.
O ângulo
está no terceiro quadrante e pode ser escrito como
. Assim
E os valores notáveis:
,
. Portanto
Usando Euler:
Passo 7
Calcular (v)
.
O ângulo
também está no terceiro quadrante e pode ser escrito como
. Assim
Valores notáveis:
,
. Portanto
Usando Euler:
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)