Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma x+i y(x, y \in \mathbb{R}) :
(i) e^{\pi i / 4};
(ii) 5 e^{-\pi i};
(iii) 2 e^{3 \pi i / 2};
(iv) e^{4 \pi i / 3};
(v) e^{7 \pi i / 6}.

Passo 1

O enunciado pede para expressar cada número complexo dado na forma x+i y com x,y\in\mathbb{R}. Os números são:
(i) e^{\pi i/4};
(ii) 5 e^{-\pi i};
(iii) 2 e^{3\pi i/2};
(iv) e^{4\pi i/3};
(v) e^{7\pi i/6}.

Passo 2

Regra fundamental que vou usar (fórmula de Euler): e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Isso significa que, para qualquer ângulo \theta, o número complexo e^{i\theta} já está na forma x+i y com x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta.
Dica prática para a prova: reduza \theta a um ângulo conhecido (usando periódica 2\pi ou simetrias) e conheça os valores exatos de \cos e \sin nos ângulos notáveis \pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2,\pi, etc. Também lembre que \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta.

Passo 3

Calcular (i) e^{\pi i/4}.
O ângulo é \theta=\pi/4. Usando Euler:
e^{\pi i/4}=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Os valores conhecidos são \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
e^{\pi i/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Calcular (ii) 5 e^{-\pi i}.
Primeiro, e^{-\pi i}=\cos(-\pi)+i\sin(-\pi). Usando paridade:
\cos(-\pi)=\cos\pi=-1,\qquad \sin(-\pi)=-\sin\pi=0.
Logo e^{-\pi i}=-1+ i\cdot 0=-1. Multiplicando por 5:
5 e^{-\pi i}=5\cdot(-1)=-5.
Na forma x+i y isso é -5+i0.

Passo 5

Calcular (iii) 2 e^{3\pi i/2}.
Use Euler:
e^{3\pi i/2}=\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right).
Os valores conhecidos: \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1. Portanto
e^{3\pi i/2}=0 - i.
Multiplicando por 2:
2 e^{3\pi i/2}=2(0 - i) = -2i,
ou seja 0 - 2i.

Passo 6

Calcular (iv) e^{4\pi i/3}.
O ângulo \frac{4\pi}{3} está no terceiro quadrante e pode ser escrito como \pi+\frac{\pi}{3}. Assim
\cos\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right),\qquad \sin\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
E os valores notáveis: \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\cos\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Usando Euler:
e^{4\pi i/3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Calcular (v) e^{7\pi i/6}.
O ângulo \frac{7\pi}{6} também está no terceiro quadrante e pode ser escrito como \pi+\frac{\pi}{6}. Assim
\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right),\qquad \sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Valores notáveis: \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}. Portanto
\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}.
Usando Euler:
e^{7\pi i/6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}.

Resposta

(i) \dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}
(ii) -5
(iii) -2i
(iv) -\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
(v) -\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados