Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma
:
(i)
;
(ii)
;
(iii)
;
(iv)
;
(v)
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Passo 1
O enunciado dá cinco números complexos e pede para escrever cada um deles na forma
. Vou listar claramente o que é pedido e os números dados:
- Pedidos: expressar cada número complexo na forma
, onde é o módulo e é um ângulo (argumento). - Números dados:
(i).
(ii).
(iii).
(iv).
(v).
Passo 2
Conceitos essenciais (fórmulas que vou usar) — explicação passo a passo e bem didática.
- Qualquer número complexo pode ser escrito na forma cartesiana
, onde é a parte real e é a parte imaginária. - A forma polar / exponencial de
é , onde: é o módulo (distância ao origem), e é o argumento (ângulo) que satisfaz: Aqui e . - Euler nos dá a ligação entre exponencial e cosseno/seno:
Assim . - Para encontrar
numericamente, usar a regra: isto é, com ajuste da quadrante conforme o sinal de e . Em muitos casos simples podemos reconhecer ângulos notáveis ( ) diretamente.
Vou escolher para cada número o argumento principal no intervalo
(é uma escolha padrão e evita ambiguidade). Se houver uma outra escolha equivalente (por exemplo acrescentar
), posso mencioná-la.
Passo 3
Explicando um caso simples repetido que usarei mais de uma vez: o número
tem representação exponencial conhecida:
porque
e
. Isso é útil para potências de
.
Agora aplico os métodos caso a caso, calculando
e
e mostrando os ajustes de quadrante quando necessário.
Passo 4
(i) Calcular
.
- Usando a representação de
: - Elevando à potência
: - O argumento
está fora do intervalo principal ; podemos subtrair para obter um ângulo equivalente no intervalo escolhido: - Portanto uma forma com argumento principal é
- Aqui o módulo é
e o ângulo .
Passo 5
(ii) Calcular
.
- Identificar partes real e imaginária:
, . - Módulo:
- Argumento: como
e , o ponto está no quarto quadrante. Calcular a tangente: O ângulo com tangente e quarto quadrante é . - Assim
Passo 6
(iii) Calcular
.
- Primeiro reconhecer
: tem , . Módulo de é e argumento , pois está no primeiro quadrante com . - Então
- Multiplicando por
: - Portanto o módulo é
e o ângulo .
Passo 7
(iv) Calcular
.
- Identificar
, . - Módulo:
- Argumento:
, (quarto quadrante). Calcular tangente: O ângulo com tangente e no quarto quadrante é (pois ). - Portanto
Passo 8
(v) Calcular
.
- Identificar
, . - Módulo:
- Argumento:
, (quarto quadrante). Calcular tangente: O ângulo com tangente e quarto quadrante é (pois ). - Assim
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)