Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma r e^{i \theta} :
(i) i^{3};
(ii) 1-i;
(iii) \sqrt{2}(1+i);
(iv) \sqrt{3}-i;
(v) 2-2 \sqrt{3} i.

Passo 1

O enunciado dá cinco números complexos e pede para escrever cada um deles na forma r e^{i\theta}. Vou listar claramente o que é pedido e os números dados:
  • Pedidos: expressar cada número complexo na forma r e^{i\theta}, onde r>0 é o módulo e \theta é um ângulo (argumento).
  • Números dados:
    (i) i^{3}.
    (ii) 1-i.
    (iii) \sqrt{2}(1+i).
    (iv) \sqrt{3}-i.
    (v) 2-2\sqrt{3}\,i.

Passo 2

Conceitos essenciais (fórmulas que vou usar) — explicação passo a passo e bem didática.
  • Qualquer número complexo pode ser escrito na forma cartesiana z = x + yi, onde x é a parte real e y é a parte imaginária.
  • A forma polar / exponencial de z é \;r e^{i\theta}\;, onde: r = |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}é o módulo (distância ao origem), e \theta é o argumento (ângulo) que satisfaz: \cos\theta = \frac{x}{r},\qquad \sin\theta = \frac{y}{r}.Aqui x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z).
  • Euler nos dá a ligação entre exponencial e cosseno/seno: e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.Assim r e^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)=x+yi.
  • Para encontrar \theta numericamente, usar a regra: \theta=\operatorname{atan2}(y,x),isto é, \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) com ajuste da quadrante conforme o sinal de x e y. Em muitos casos simples podemos reconhecer ângulos notáveis ( \pi/6,\pi/4,\pi/3,\dots) diretamente.
Vou escolher para cada número o argumento principal no intervalo (-\pi,\pi] (é uma escolha padrão e evita ambiguidade). Se houver uma outra escolha equivalente (por exemplo acrescentar 2\pi), posso mencioná-la.

Passo 3

Explicando um caso simples repetido que usarei mais de uma vez: o número i tem representação exponencial conhecida:
i = e^{i\pi/2}
porque \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Isso é útil para potências de i.
Agora aplico os métodos caso a caso, calculando r e \theta e mostrando os ajustes de quadrante quando necessário.

Passo 4

(i) Calcular i^{3}.
  • Usando a representação de i: i = e^{i\pi/2}.
  • Elevando à potência 3: i^{3} = \big(e^{i\pi/2}\big)^{3} = e^{i(3\pi/2)}.
  • O argumento 3\pi/2 está fora do intervalo principal (-\pi,\pi]; podemos subtrair 2\pi para obter um ângulo equivalente no intervalo escolhido: 3\pi/2 - 2\pi = -\pi/2.
  • Portanto uma forma com argumento principal é i^{3} = e^{-i\pi/2}.
  • Aqui o módulo é r=1 e o ângulo \theta=-\pi/2.

Passo 5

(ii) Calcular 1-i.
  • Identificar partes real e imaginária: x=1, y=-1.
  • Módulo: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Argumento: como x>0 e y<0, o ponto está no quarto quadrante. Calcular a tangente: \tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-1}{1}=-1.O ângulo com tangente -1 e quarto quadrante é \theta=-\pi/4.
  • Assim 1-i = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}.

Passo 6

(iii) Calcular \sqrt{2}(1+i).
  • Primeiro reconhecer 1+i: tem x=1, y=1. Módulo de 1+i é \sqrt{2} e argumento \pi/4, pois está no primeiro quadrante com \tan\theta=1.
  • Então 1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
  • Multiplicando por \sqrt{2}: \sqrt{2}(1+i) = \sqrt{2}\cdot\big(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\big) = (\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})\,e^{i\pi/4} = 2\,e^{i\pi/4}.
  • Portanto o módulo é r=2 e o ângulo \theta=\pi/4.

Passo 7

(iv) Calcular \sqrt{3}-i.
  • Identificar x=\sqrt{3}, y=-1.
  • Módulo: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
  • Argumento: x>0, y<0 (quarto quadrante). Calcular tangente: \tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.O ângulo com tangente -1/\sqrt{3} e no quarto quadrante é \theta=-\pi/6 (pois \tan(\pi/6)=1/\sqrt{3}).
  • Portanto \sqrt{3}-i = 2\,e^{-i\pi/6}.

Passo 8

(v) Calcular 2-2\sqrt{3}\,i.
  • Identificar x=2, y=-2\sqrt{3}.
  • Módulo: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2^{2}+\big(-2\sqrt{3}\big)^{2}}=\sqrt{4+4\cdot 3}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4.
  • Argumento: x>0, y<0 (quarto quadrante). Calcular tangente: \tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}.O ângulo com tangente -\sqrt{3} e quarto quadrante é \theta=-\pi/3 (pois \tan(\pi/3)=\sqrt{3}).
  • Assim 2-2\sqrt{3}\,i = 4\,e^{-i\pi/3}.

Resposta

(i) e^{-i\pi/2}
(ii) \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}
(iii) 2\,e^{i\pi/4}
(iv) 2\,e^{-i\pi/6}
(v) 4\,e^{-i\pi/3}

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