Como a equação dada é \left|z^{2}-1\right|=1, elevando ambos os lados ao quadrado obtemos \left|z^{2}-1\right|^{2}=1. Substituindo a expressão do passo anterior:
r^{4}-2r^{2}\cos 2\theta+1=1.
Cancelando 1 dos dois lados:
r^{4}-2r^{2}\cos 2\theta=0.
Passo 6
Fatoramos a expressão em r^{2}:
r^{2}\big(r^{2}-2\cos 2\theta\big)=0.
Isto dá duas possibilidades que satisfazem a equação original:
r^{2}=0, ou seja r=0;
r^{2}=2\cos 2\theta.
Lembrete: como r é raio, deve valer r\ge 0. Portanto, na segunda possibilidade devemos ter 2\cos 2\theta\ge 0, isto é \cos 2\theta\ge 0.
Passo 7
Expressando a segunda solução explicitamente em termos de r:
r=0 para qualquer \theta\n r=\sqrt{2\cos 2\theta}, com \cos 2\theta\ge 0 (equivalente a \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right],\\ k\in\mathbb{Z}).