Expresse em termos de r e \theta as seguintes equações, onde z=r e^{i \theta} : Simplifique ao máximo sua resposta.
\left|z^{2}-1\right|=1;

Passo 1

O enunciado pede que a condição \left|z^{2}-1\right|=1 seja escrita em termos de r e \theta, sabendo que z=r e^{i\theta}.
Informações dadas:
  • z=r e^{i\theta} com r\ge 0 e \theta\in\mathbb{R}.
  • Equação a satisfazer: \left|z^{2}-1\right|=1.

Passo 2

Primeiro lembramos duas coisas básicas sobre números complexos e módulo, que vamos usar passo a passo:
  • Se w é um número complexo, então |w|^{2}=w\overline{w}, onde \overline{w} é o conjugado de w.
  • A exponencial complexa satisfaz e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi e o conjugado de r e^{i\varphi} (com r real) é r e^{-i\varphi}.

Passo 3

Escrevemos z^{2} em termos de r e \theta:
z^{2}=(r e^{i\theta})^{2}=r^{2}e^{i2\theta}.
Então a expressão dentro do módulo é z^{2}-1=r^{2}e^{i2\theta}-1.

Passo 4

Aplicamos |w|^{2}=w\overline{w} para eliminar o módulo (isso evita trabalhar com raízes agora):
\left|z^{2}-1\right|^{2}=\big(r^{2}e^{i2\theta}-1\big)\big(r^{2}e^{-i2\theta}-1\big).
Fazendo a multiplicação (usar e^{i2\theta}e^{-i2\theta}=1 e e^{i2\theta}+e^{-i2\theta}=2\cos 2\theta):
\left|z^{2}-1\right|^{2}=r^{4}-r^{2}e^{i2\theta}-r^{2}e^{-i2\theta}+1 = r^{4}-2r^{2}\cos 2\theta+1.

Passo 5

Como a equação dada é \left|z^{2}-1\right|=1, elevando ambos os lados ao quadrado obtemos \left|z^{2}-1\right|^{2}=1. Substituindo a expressão do passo anterior:
r^{4}-2r^{2}\cos 2\theta+1=1.
Cancelando 1 dos dois lados:
r^{4}-2r^{2}\cos 2\theta=0.

Passo 6

Fatoramos a expressão em r^{2}:
r^{2}\big(r^{2}-2\cos 2\theta\big)=0.
Isto dá duas possibilidades que satisfazem a equação original:
  • r^{2}=0, ou seja r=0;
  • r^{2}=2\cos 2\theta.
Lembrete: como r é raio, deve valer r\ge 0. Portanto, na segunda possibilidade devemos ter 2\cos 2\theta\ge 0, isto é \cos 2\theta\ge 0.

Passo 7

Expressando a segunda solução explicitamente em termos de r:
r=\sqrt{2\cos 2\theta}\quad\text{com}\quad \cos 2\theta\ge 0.
Podemos também escrever a condição sobre \theta de forma explícita (periodicidade \pi de \cos 2\theta):
\theta\in\left[-\frac{\pi}{4}+k\pi,\\ \frac{\pi}{4}+k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z},
para as quais \cos 2\theta\ge 0.

Resposta

r=0 para qualquer \theta\n
r=\sqrt{2\cos 2\theta}, com \cos 2\theta\ge 0 (equivalente a \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right],\\ k\in\mathbb{Z}).

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