Expresse o campo vetorial \overrightarrow{\mathrm{F}}=\rho \cos \varphi \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\rho} em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cilíndricas:
\overrightarrow{F}=\rho \cos\varphi\,\overrightarrow{a}_{\rho}.
Pede-se expressar esse campo em coordenadas cartesianas (isto é, em termos de \hat{\imath}, \hat{\jmath} e x,y).
Informações relevantes que vamos usar (relacionamentos entre coordenadas cilíndricas e cartesianas):
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Também é dado o versor radial em função dos versores cartesianos:
\overrightarrow{a}_{\rho}=\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\varphi\,\hat{\jmath}.

Passo 2

Explicando devagar por que essas relações valem (aula rápida):
  • Em coordenadas cilíndricas, \rho é a distância ao eixo z projetada no plano xy e \varphi é o ângulo medido a partir do eixo x. Por isso x=\rho\cos\varphi e y=\rho\sin\varphi.
  • O versor \overrightarrow{a}_{\rho} aponta radialmente para fora no plano xy. Projetando esse vetor nas direções x e y obtemos \overrightarrow{a}_{\rho}=\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\varphi\,\hat{\jmath}.
    Essas fórmulas são padrão e muito úteis para transformar campos entre sistemas.

Passo 3

Substituímos \overrightarrow{a}_{\rho} na expressão de \overrightarrow{F}:
\overrightarrow{F}=\rho\cos\varphi\left(\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\varphi\,\hat{\jmath}\right).
Distribuindo o escalar:
\overrightarrow{F}=\rho\big(\cos^{2}\varphi\,\hat{\imath}+\cos\varphi\sin\varphi\,\hat{\jmath}\big).
Aqui só foi feita álgebra elementar: multiplicar o escalar \rho\cos\varphi nos componentes do versor.

Passo 4

Agora escrevemos esses termos em x e y. Observe que \rho\cos\varphi=x. Usando isso de forma direta temos
\overrightarrow{F}=x\big(\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\varphi\,\hat{\jmath}\big).
Substituindo \cos\varphi=\dfrac{x}{\rho} e \sin\varphi=\dfrac{y}{\rho} (essas relações vêm de x=\rho\cos\varphi e y=\rho\sin\varphi) obtemos
\overrightarrow{F}=x\left(\frac{x}{\rho}\,\hat{\imath}+\frac{y}{\rho}\,\hat{\jmath}\right) =\frac{x^{2}}{\rho}\,\hat{\imath}+\frac{xy}{\rho}\,\hat{\jmath}.
Finalmente, se quiser expressar sem \rho explícito, substitui-se \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}:
\overrightarrow{F}=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\hat{\imath}+\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\hat{\jmath}.
Observação prática (dica de prova): esse campo não está definido em (x,y)=(0,0) porque aí \rho=0 e aparecem divisões por zero.

Passo 5

Resumo do procedimento para aplicar na prova (rápido e direto): 1) escreva \overrightarrow{a}_{\rho} em \hat{\imath},\hat{\jmath}; 2) multiplique o escalar que acompanha \overrightarrow{a}_{\rho}; 3) use x=\rho\cos\varphi, y=\rho\sin\varphi para trocar por x,y; 4) se necessário, coloque \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Isso resolve a maioria das transformações do tipo radial → cartesiano. Vai dar certo — respira e resolve passo a passo!

Resposta

\overrightarrow{F}=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\hat{\imath}+\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\hat{\jmath}.

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