Expresse o campo vetorial
em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cilíndricas:
Pede-se expressar esse campo em coordenadas cartesianas (isto é, em termos de
,
e
).
Informações relevantes que vamos usar (relacionamentos entre coordenadas cilíndricas e cartesianas):
Informações relevantes que vamos usar (relacionamentos entre coordenadas cilíndricas e cartesianas):
Também é dado o versor radial em função dos versores cartesianos:
Passo 2
Explicando devagar por que essas relações valem (aula rápida):
- Em coordenadas cilíndricas,
é a distância ao eixo projetada no plano e é o ângulo medido a partir do eixo . Por isso e . - O versor
aponta radialmente para fora no plano . Projetando esse vetor nas direções e obtemos .
Essas fórmulas são padrão e muito úteis para transformar campos entre sistemas.
Passo 3
Substituímos
na expressão de
:
Distribuindo o escalar:
Aqui só foi feita álgebra elementar: multiplicar o escalar
nos componentes do versor.
Passo 4
Agora escrevemos esses termos em
e
. Observe que
. Usando isso de forma direta temos
Substituindo
e
(essas relações vêm de
e
) obtemos
Finalmente, se quiser expressar sem
explícito, substitui-se
:
Observação prática (dica de prova): esse campo não está definido em
porque aí
e aparecem divisões por zero.
Passo 5
Resumo do procedimento para aplicar na prova (rápido e direto): 1) escreva
em
; 2) multiplique o escalar que acompanha
; 3) use
,
para trocar por
; 4) se necessário, coloque
. Isso resolve a maioria das transformações do tipo radial → cartesiano. Vai dar certo — respira e resolve passo a passo!