Encontre a solução do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}
Depois determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto em que a solução se anula.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''-3y'+y=0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=\tfrac{1}{2}.
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
  • Determinar o valor máximo dessa solução (o maior valor de y(x)).
  • Encontrar o ponto x onde a solução se anula (ou seja, y(x)=0).
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y''-3y'+y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Método para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes (explicação didática):
  • Para a equação \,y''-3y'+y=0, procura-se soluções da forma exponencial y(x)=e^{r x}. Isso porque derivadas de exponenciais devolvem a mesma exponencial vezes constantes, o que transforma a EDO numa equação algébrica para r.
  • Substituindo y=e^{r x} na equação obtemos a equação característica (polinômio em r):
r^2-3r+1=0.
Aqui r é a incógnita da equação algébrica; raízes reais distintas levam a combinações lineares de exponenciais.

Passo 3

Resolver a equação característica (passo a passo):
  • Usar a fórmula quadrática para ar^2+br+c=0: \displaystyle r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=-3, c=1.
  • Calculando o discriminante: \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot1=9-4=5.
  • Portanto as raízes são
r_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\qquad r_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1\) e \(C_2\) (explicando cada passo): - Primeiro calcule \(y(0)\): \[y(0)=C_1 + C_2 = 2.
  • Agora calcule y'(x). Derivando y(x):
y'(x)=C_1 r_1 e^{r_1 x}+C_2 r_2 e^{r_2 x},
então
y'(0)=C_1 r_1 + C_2 r_2 = \tfrac{1}{2}.
  • Temos o sistema linear para C_1,C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\[4pt] C_1 r_1 + C_2 r_2 = \tfrac{1}{2}. \end{cases}
Resolver por eliminação: multiplique a primeira equação por r_2\] e subtraia da segunda para isolar \(C_1:
C_1(r_1-r_2)=\tfrac{1}{2}-2r_2.
Aqui r_1-r_2=\sqrt{5}. Logo
C_1=\frac{\tfrac{1}{2}-2r_2}{\sqrt{5}}.
  • Substituir r_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}
\tfrac{1}{2}-2r_2=\tfrac{1}{2}-(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}-\tfrac{5}{2}=\frac{2\sqrt{5}-5}{2}.
Assim
C_1=\frac{\dfrac{2\sqrt{5}-5}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}-5}{2\sqrt{5}}.
  • Simplificando multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5}:
C_1=\frac{10-5\sqrt{5}}{10}=\frac{2-\sqrt{5}}{2}.
  • Como C_2=2-C_1, obtemos
C_2=2-\frac{2-\sqrt{5}}{2}=\frac{2+\sqrt{5}}{2}.]

Passo 5

Escrever a solução particular com as constantes encontradas:
  • Substituindo C_1, C_2, r_1 e r_2 obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(x)=\frac{2-\sqrt{5}}{2}\,e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}x}+\frac{2+\sqrt{5}}{2}\,e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}x}.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • y(x) é a solução procurada.
  • As constantes r_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} e r_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} são as raízes da equação característica.
  • As constantes C_1=\dfrac{2-\sqrt{5}}{2} e C_2=\dfrac{2+\sqrt{5}}{2} foram determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Encontrar extremos (máximo): condição e resolução detalhada
  • Extremos ocorrem quando y'(x)=0. Já calculamos a derivada:
y'(x)=C_1 r_1 e^{r_1 x}+C_2 r_2 e^{r_2 x}.
  • Igualando a zero e isolando a exponencial:
C_1 r_1 e^{r_1 x}+C_2 r_2 e^{r_2 x}=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{(r_1-r_2)x}=-\frac{C_2 r_2}{C_1 r_1}.
Observação: C_1<0 e C_2>0, então o lado direito é positivo e a equação tem solução real.
  • Calculemos a razão em termos exatos. Primeiro calcule os produtos:
C_1 r_1=\frac{2-\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}, \qquad C_2 r_2=\frac{2+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.
  • Logo
e^{(r_1-r_2)x}=-\frac{C_2 r_2}{C_1 r_1}=\frac{1+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.
Aqui usamos álgebra para simplificar a fração (passos mostrados no cálculo anterior).
  • Como r_1-r_2=\sqrt{5}, obtemos o valor de x do extremo:
x_{\max}=\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right).
  • Para verificar que é um máximo, podemos usar a segunda derivada:
y''(x)=C_1 r_1^2 e^{r_1 x}+C_2 r_2^2 e^{r_2 x}.
Substituindo o x_{\max} e os valores numéricos (ou avaliando o sinal), obtém-se y''(x_{\max})<0, portanto o ponto é um máximo. Numericamente, x_{\max}\approx0{,}430677.

Passo 7

Calcular o valor máximo y(x_{\max}) (passo a passo):
  • Use a forma fatorada para facilitar o cálculo:
y(x)=e^{r_2 x}\bigl(C_1 e^{(r_1-r_2)x}+C_2\bigr).
  • Em x_{\max} já sabemos que e^{(r_1-r_2)x_{\max}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}. Então
y(x_{\max})=e^{r_2 x_{\max}}\left(C_1\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{2}+C_2\right).
  • Calcule o parêntese exatamente:
C_1\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{2}+C_2 =\frac{1-\sqrt{5}}{4}+\frac{2+\sqrt{5}}{2} =\frac{5+\sqrt{5}}{4}.
  • Assim
y(x_{\max})=\frac{5+\sqrt{5}}{4}\,e^{r_2 x_{\max}}.
Como e^{r_2 x_{\max}}=\exp\!\Big(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,x_{\max}\Big) e x_{\max}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\big(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\big), pode-se escrever explicitamente
y(x_{\max})=\frac{5+\sqrt{5}}{4}\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{\!\frac{3-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}}.
Numericamente isto dá
y(x_{\max})\approx 2{,}1345.

Passo 8

Encontrar o ponto onde y(x)=0 (raízes da solução):
  • Resolver C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}=0. Isolando a exponencial:
e^{(r_1-r_2)x}=-\frac{C_2}{C_1}.
  • Calcule a razão -\dfrac{C_2}{C_1} usando os valores exatos de C_1,C_2:
-\frac{C_2}{C_1}=-\frac{\frac{2+\sqrt{5}}{2}}{\frac{2-\sqrt{5}}{2}}=9+4\sqrt{5}.
  • Portanto
e^{\sqrt{5}\,x}=9+4\sqrt{5},
e a raiz positiva (única raiz real, visto o comportamento da solução) é
x_0=\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\bigl(9+4\sqrt{5}\bigr).
Numericamente, isso dá x_0\approx 1{,}2913.

Resposta

y(x)=\dfrac{2-\sqrt{5}}{2}\,e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}x}+\dfrac{2+\sqrt{5}}{2}\,e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}x}
y_{\max}=\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{\!\frac{3-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}}\approx 2{,}1345 (ocorre em \;x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\big(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\big)\approx0{,}430677)
x_0=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\bigl(9+4\sqrt{5}\bigr)\approx1{,}2913

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