Encontre a solução do problema de valor inicial
Depois determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto em que a solução se anula.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. - Determinar o valor máximo dessa solução (o maior valor de
). - Encontrar o ponto
onde a solução se anula (ou seja, ).
Lista das informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
. - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Método para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes (explicação didática):
- Para a equação
, procura-se soluções da forma exponencial . Isso porque derivadas de exponenciais devolvem a mesma exponencial vezes constantes, o que transforma a EDO numa equação algébrica para . - Substituindo
na equação obtemos a equação característica (polinômio em ):
Aqui
é a incógnita da equação algébrica; raízes reais distintas levam a combinações lineares de exponenciais.
Passo 3
Resolver a equação característica (passo a passo):
- Usar a fórmula quadrática para
: . Aqui , , . - Calculando o discriminante:
. - Portanto as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para determinar
- Agora calcule
. Derivando :
então
- Temos o sistema linear para
:
Resolver por eliminação: multiplique a primeira equação por
:
Aqui
. Logo
- Substituir
dá
Assim
- Simplificando multiplicando numerador e denominador por
:
- Como
, obtemos
Passo 5
Escrever a solução particular com as constantes encontradas:
- Substituindo
, , e obtemos a solução do problema de valor inicial:
Explicando o que cada símbolo significa:
-
é a solução procurada. - As constantes
e são as raízes da equação característica. - As constantes
e foram determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Encontrar extremos (máximo): condição e resolução detalhada
- Extremos ocorrem quando
. Já calculamos a derivada:
- Igualando a zero e isolando a exponencial:
Observação:
e
, então o lado direito é positivo e a equação tem solução real.
- Calculemos a razão em termos exatos. Primeiro calcule os produtos:
- Logo
Aqui usamos álgebra para simplificar a fração (passos mostrados no cálculo anterior).
- Como
, obtemos o valor de do extremo:
- Para verificar que é um máximo, podemos usar a segunda derivada:
Substituindo o
e os valores numéricos (ou avaliando o sinal), obtém-se
, portanto o ponto é um máximo. Numericamente,
.
Passo 7
Calcular o valor máximo
(passo a passo):
- Use a forma fatorada para facilitar o cálculo:
- Em
já sabemos que . Então
- Calcule o parêntese exatamente:
- Assim
Como
e
, pode-se escrever explicitamente
Numericamente isto dá
Passo 8
Encontrar o ponto onde
(raízes da solução):
- Resolver
. Isolando a exponencial:
- Calcule a razão
usando os valores exatos de :
- Portanto
e a raiz positiva (única raiz real, visto o comportamento da solução) é
Numericamente, isso dá
.