Questão 3. (2 pts) Use vetores e o produto escalar para mostrar que o triangulo com vértices P(1,-3,-2), Q(6,-2,-5) e R(2,0,-4) é um triângulo retângulo. Descubra qual é o vértice com o ângulo reto e então VERIFIQUE que este triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo:
  • P(1,-3,-2)
  • Q(6,-2,-5)
  • R(2,0,-4)
O que pede o exercício:
  1. Usar vetores e o produto escalar para mostrar que o triângulo é retângulo.
  2. Descobrir qual vértice é o ângulo reto.
  3. VERIFICAR que o triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras.
Informações relevantes extraídas do enunciado (as coordenadas acima serão usadas para formar vetores lado a lado entre os pontos).

Passo 2

Primeiro construímos os vetores que representam os lados do triângulo, tomando diferenças de coordenadas (sempre lembrar: para obter o vetor \overrightarrow{AB} faz-se B-A):
\overrightarrow{PQ}=Q-P,\qquad \overrightarrow{PR}=R-P,\qquad \overrightarrow{QR}=R-Q.
Agora calculamos cada um fazendo subtração coordenada a coordenada:
\overrightarrow{PQ}=(6-1,\; -2-(-3),\; -5-(-2))=(5,\;1,\;-3),
\overrightarrow{PR}=(2-1,\; 0-(-3),\; -4-(-2))=(1,\;3,\;-2),
\overrightarrow{QR}=(2-6,\; 0-(-2),\; -4-(-5))=(-4,\;2,\;1).
(Explicação curta: por exemplo, para \overrightarrow{PQ} subtrai-se cada coordenada de P da correspondente de Q.)

Passo 3

Agora um mini-curso sobre produto escalar (bem direto e prático):
  • Para dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Relação com ângulo: \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}\,|\,|\vec{b}\,|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Em particular, se \vec{a}\cdot\vec{b}=0 então \cos\theta=0 e os vetores são perpendiculares (ângulo de 90^\circ).
  • Portanto, para provar que um ângulo do triângulo é reto, basta mostrar que dois vetores correspondentes aos lados que se encontram nesse vértice têm produto escalar zero.

Passo 4

Vamos calcular os produtos escalares entre os pares de vetores de lados que podem indicar um ângulo reto. Usamos a fórmula direta:
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=(5)(1)+(1)(3)+(-3)(-2)=5+3+6=14.
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{QR}=(5)(-4)+(1)(2)+(-3)(1)=-20+2-3=-21.
\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{QR}=(1)(-4)+(3)(2)+(-2)(1)=-4+6-2=0.
Interpretação: o único produto escalar nulo é \overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{QR}=0. Como o produto escalar é zero, os vetores \overrightarrow{PR} e \overrightarrow{QR} são perpendiculares.

Passo 5

Identificação do vértice com ângulo reto:
  • Os vetores \overrightarrow{PR} e \overrightarrow{QR} têm ponta em R (são vetores que apontam para R a partir de P e Q, respectivamente). O fato de \overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{QR}=0 implica que os segmentos RP e RQ são perpendiculares.
  • Logo, o ângulo reto está no vértice R. (Obs.: poderia também usar \overrightarrow{RP}=-\overrightarrow{PR} e \overrightarrow{RQ}=-\overrightarrow{QR}; mudar o sinal não altera o produto escalar ser zero.)

Passo 6

Agora verificamos o Teorema de Pitágoras. Em um triângulo retângulo com ângulo reto em R, os catetos são RP e RQ e a hipotenusa é PQ. Vamos calcular os quadrados dos comprimentos (fácil e prático: |\vec{v}|^2=\vec{v}\cdot\vec{v}):
Calculemos |\overrightarrow{PQ}|^2:
|\overrightarrow{PQ}|^2=(5)^2+(1)^2+(-3)^2=25+1+9=35.
Calculemos |\overrightarrow{PR}|^2:
|\overrightarrow{PR}|^2=(1)^2+(3)^2+(-2)^2=1+9+4=14.
Calculemos |\overrightarrow{QR}|^2:
|\overrightarrow{QR}|^2=(-4)^2+(2)^2+(1)^2=16+4+1=21.
Agora somamos os quadrados dos catetos:
|\overrightarrow{PR}|^2+|\overrightarrow{QR}|^2=14+21=35.
Comparando com o quadrado da hipotenusa:
|\overrightarrow{PQ}|^2=35.
Portanto
|\overrightarrow{PR}|^2+|\overrightarrow{QR}|^2=|\overrightarrow{PQ}|^2,
ou seja, o Teorema de Pitágoras é satisfeito.

Resposta

O vértice com o ângulo reto é R.
|\overrightarrow{PR}|^{2}+|\overrightarrow{QR}|^{2}=|\overrightarrow{PQ}|^{2}, pois 14+21=35.

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