Questão 3. (2 pts) Use vetores e o produto escalar para mostrar que o triangulo com vértices P(1,-3,-2), Q(6,-2,-5) e R(2,0,-4) é um triângulo retângulo. Descubra qual é o vértice com o ângulo reto e então VERIFIQUE que este triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo:
P(1,-3,-2)
Q(6,-2,-5)
R(2,0,-4)
O que pede o exercício:
Usar vetores e o produto escalar para mostrar que o triângulo é retângulo.
Descobrir qual vértice é o ângulo reto.
VERIFICAR que o triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras.
Informações relevantes extraídas do enunciado (as coordenadas acima serão usadas para formar vetores lado a lado entre os pontos).
Passo 2
Primeiro construímos os vetores que representam os lados do triângulo, tomando diferenças de coordenadas (sempre lembrar: para obter o vetor \overrightarrow{AB} faz-se B-A):
(Explicação curta: por exemplo, para \overrightarrow{PQ} subtrai-se cada coordenada de P da correspondente de Q.)
Passo 3
Agora um mini-curso sobre produto escalar (bem direto e prático):
Para dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Relação com ângulo: \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}\,|\,|\vec{b}\,|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Em particular, se \vec{a}\cdot\vec{b}=0 então \cos\theta=0 e os vetores são perpendiculares (ângulo de 90^\circ).
Portanto, para provar que um ângulo do triângulo é reto, basta mostrar que dois vetores correspondentes aos lados que se encontram nesse vértice têm produto escalar zero.
Passo 4
Vamos calcular os produtos escalares entre os pares de vetores de lados que podem indicar um ângulo reto. Usamos a fórmula direta:
Interpretação: o único produto escalar nulo é \overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{QR}=0. Como o produto escalar é zero, os vetores \overrightarrow{PR} e \overrightarrow{QR} são perpendiculares.
Passo 5
Identificação do vértice com ângulo reto:
Os vetores \overrightarrow{PR} e \overrightarrow{QR} têm ponta em R (são vetores que apontam para R a partir de P e Q, respectivamente). O fato de \overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{QR}=0 implica que os segmentos RP e RQ são perpendiculares.
Logo, o ângulo reto está no vértice R. (Obs.: poderia também usar \overrightarrow{RP}=-\overrightarrow{PR} e \overrightarrow{RQ}=-\overrightarrow{QR}; mudar o sinal não altera o produto escalar ser zero.)
Passo 6
Agora verificamos o Teorema de Pitágoras. Em um triângulo retângulo com ângulo reto em R, os catetos são RP e RQ e a hipotenusa é PQ. Vamos calcular os quadrados dos comprimentos (fácil e prático: |\vec{v}|^2=\vec{v}\cdot\vec{v}):