Expresse o campo vetorial \vec{F}=\rho \cos \varphi a_{p} em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}=\rho\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\rho} expresso em coordenadas cilíndricas (ou polares no plano). O que se pede é escrever esse mesmo campo em coordenadas cartesianas, ou seja, obter as componentes na base \{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo está dado por \vec{F}=\rho\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\rho}.
  • As variáveis presentes são \rho (raio), \varphi (ângulo) e o versor radial \mathbf{a}_{\rho}.
  • O objetivo: escrever \vec{F} em função de x, y e z (base cartesiana).

Passo 2

Anotar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas — estas são fórmulas que sempre usamos para converter:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicar os versores: o versor radial \mathbf{a}_{\rho} no plano tem a representação em função dos versores cartesianas \mathbf{i} e \mathbf{j}:
\mathbf{a}_{\rho}=\cos\varphi\,\mathbf{i}+\sin\varphi\,\mathbf{j}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \rho: distância do ponto à origem no plano xy.
  • \varphi: ângulo polar entre o eixo x positivo e o raio.
  • \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}: versores cartesianos unitários nas direções x,y,z.

Passo 3

Substituir \mathbf{a}_{\rho} na expressão de \vec{F}:
\vec{F}=\rho\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\rho} =\rho\cos\varphi\bigl(\cos\varphi\,\mathbf{i}+\sin\varphi\,\mathbf{j}\bigr).
Agora desenvolver o produto escalar nas componentes:
\vec{F}=\rho\cos^{2}\varphi\,\mathbf{i}+\rho\cos\varphi\sin\varphi\,\mathbf{j}.

Passo 4

Expressar \cos\varphi e \sin\varphi em termos de x,y,\rho usando as relações do Passo 2:
\cos\varphi=\frac{x}{\rho},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}.
Substituindo em cada componente:
\rho\cos^{2}\varphi=\rho\left(\frac{x}{\rho}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{\rho}, \qquad \rho\cos\varphi\sin\varphi=\rho\left(\frac{x}{\rho}\right)\left(\frac{y}{\rho}\right)=\frac{xy}{\rho}.

Passo 5

Reescrever o campo em coordenadas cartesianas, substituindo \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} se for desejado deixar só em x,y:
\vec{F}=\frac{x^{2}}{\rho}\,\mathbf{i}+\frac{xy}{\rho}\,\mathbf{j}.
Ou, explicitando \rho:
\vec{F}=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\mathbf{i}+\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
Observação importante (didática): a expressão usa divisão por \rho, logo no ponto \rho=0 (a origem) a representação em cartesianas fica indefinida — isso é esperado quando se trabalha com versores polares na origem.

Resposta

\displaystyle \vec{F}=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\mathbf{i}+\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}

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