Expresse o campo vetorial
em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
expresso em coordenadas cilíndricas (ou polares no plano). O que se pede é escrever esse mesmo campo em coordenadas cartesianas, ou seja, obter as componentes na base
.
Informações relevantes fornecidas:
- O campo está dado por
. - As variáveis presentes são
(raio), (ângulo) e o versor radial . - O objetivo: escrever
em função de , e (base cartesiana).
Passo 2
Anotar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas — estas são fórmulas que sempre usamos para converter:
Explicar os versores: o versor radial
no plano tem a representação em função dos versores cartesianas
e
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: distância do ponto à origem no plano . -
: ângulo polar entre o eixo positivo e o raio. -
: versores cartesianos unitários nas direções .
Passo 3
Substituir
na expressão de
:
Agora desenvolver o produto escalar nas componentes:
Passo 4
Expressar
e
em termos de
usando as relações do Passo 2:
Substituindo em cada componente:
Passo 5
Reescrever o campo em coordenadas cartesianas, substituindo
se for desejado deixar só em
:
Ou, explicitando
:
Observação importante (didática): a expressão usa divisão por
, logo no ponto
(a origem) a representação em cartesianas fica indefinida — isso é esperado quando se trabalha com versores polares na origem.