Questão 6. Calcule
quando
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
quando a função é
.
Informações dadas:
- A função é
. - A variável de aproximação é
e queremos o limite quando . - A expressão
é a diferença quociente clássica usada para calcular a derivada de em .
Passo 2
Entendendo o que o limite representa (aula rápida): a expressão
é, por definição, a derivada de
em
, denotada por
, sempre que esse limite existir. Em palavras: é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
. Vamos portanto calcular esse limite passo a passo para a função dada.
Passo 3
Calcule
substituindo
na expressão de
:
Agora desenvolvendo:
Passo 4
Forme o numerador da diferença quociente e simplifique:
Cancelando termos iguais:
Passo 5
Substitua no quociente e calcule o limite:
Para todo
isso simplifica para
Como a expressão é igual a
para todo
diferente de zero, o limite quando
é simplesmente
Observação didática: para funções lineares da forma
o quociente sempre reduz para
, então a derivada é
. Aqui
.