Questão 6. Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} quando f(x)=2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
quando a função é f(x)=2x+1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2x+1.
  • A variável de aproximação é h e queremos o limite quando h\to 0.
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a diferença quociente clássica usada para calcular a derivada de f em x.

Passo 2

Entendendo o que o limite representa (aula rápida): a expressão
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
é, por definição, a derivada de f em x, denotada por f'(x), sempre que esse limite existir. Em palavras: é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x. Vamos portanto calcular esse limite passo a passo para a função dada.

Passo 3

Calcule f(x+h) substituindo x+h na expressão de f:
f(x+h)=2(x+h)+1.
Agora desenvolvendo:
f(x+h)=2x+2h+1.

Passo 4

Forme o numerador da diferença quociente e simplifique:
f(x+h)-f(x)=(2x+2h+1)-(2x+1).
Cancelando termos iguais:
f(x+h)-f(x)=2h.

Passo 5

Substitua no quociente e calcule o limite:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2h}{h}.
Para todo h\neq 0 isso simplifica para
\frac{2h}{h}=2.
Como a expressão é igual a 2 para todo h diferente de zero, o limite quando h\to 0 é simplesmente
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2.
Observação didática: para funções lineares da forma f(x)=ax+b o quociente sempre reduz para a, então a derivada é a. Aqui a=2.

Resposta

2

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