Expresse o campo vetorial \vec{W}=(x-y) \hat{a_j} em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede: expressar o campo vetorial \vec{W}=(x-y)\,\hat{a_j} em coordenadas cilíndricas.
Informações dadas e notação que usarei:
  • O campo em coordenadas cartesianas é \vec{W}=(x-y)\,\hat{j}, onde \hat{j} (igual a \hat{a_j} do enunciado) é o versor na direção y.
  • Quero reescrever \vec{W} usando os vetores unitários cilíndricos \hat{\rho},\hat{\varphi},\hat{z} e as coordenadas \rho,\varphi,z.

Passo 2

Lembrete das relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas (aulas básicas):
x = \rho\cos\varphi,\qquad y = \rho\sin\varphi,\qquad z = z.
Significado das variáveis:
  • \rho é a distância radial no plano xy,
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo x,
  • z é a coordenada vertical (iguais em ambos sistemas).
Relações entre os versores (rotação de ângulo \varphi):
\hat{\rho} = \cos\varphi\,\hat{i} + \sin\varphi\,\hat{j}, \qquad \hat{\varphi} = -\sin\varphi\,\hat{i} + \cos\varphi\,\hat{j}.
Estas duas equações formam uma rotação; invertendo (transposta da matriz de rotação) obtem-se:
\hat{i} = \cos\varphi\,\hat{\rho} - \sin\varphi\,\hat{\varphi}, \qquad \hat{j} = \sin\varphi\,\hat{\rho} + \cos\varphi\,\hat{\varphi}.
Explicação rápida: \hat{\rho} aponta radialmente (componente em x e y); \hat{\varphi} é tangencial (perpendicular a \hat{\rho}). Para passar de \hat{j} para a base cilíndrica usa-se a segunda expressão acima.

Passo 3

Substituo x e y por suas expressões em termos de \rho e \varphi para obter o fator escalar do campo:
x-y = \rho\cos\varphi - \rho\sin\varphi = \rho(\cos\varphi - \sin\varphi).
Isto é só álgebra simples: fatorando \rho.

Passo 4

Agora substituo a expressão de \hat{j} em função de \hat{\rho} e \hat{\varphi}:
\vec{W} = (x-y)\,\hat{j} = \rho(\cos\varphi - \sin\varphi)\,(\sin\varphi\,\hat{\rho} + \cos\varphi\,\hat{\varphi}).
Aqui foi usada a igualdade \hat{j}=\sin\varphi\,\hat{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\varphi} (veja o Passo 2) e o fator escalar \rho(\cos\varphi-\sin\varphi) do Passo 3.

Passo 5

Multiplicando para obter explicitamente as componentes nas direções cilíndricas:
\vec{W} = \rho(\cos\varphi - \sin\varphi)\sin\varphi\;\hat{\rho} \;+\; \rho(\cos\varphi - \sin\varphi)\cos\varphi\;\hat{\varphi} \;+\;0\;\hat{z}.
Podemos também deixar na forma mais compacta do Passo 4; ambas são equivalentes. Se for útil na prova, uma alternativa trigonométrica seria expandir usando identidades (por exemplo expressar produtos em termos de \sin2\varphi,\cos2\varphi), mas não é necessário aqui.

Resposta

\displaystyle \vec{W}=\rho(\cos\varphi-\sin\varphi)\bigl(\sin\varphi\,\hat{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\varphi}\bigr)

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