Expresse o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede: expressar o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas.
Informações dadas e notação que usarei:
Informações dadas e notação que usarei:
- O campo em coordenadas cartesianas é
, onde (igual a do enunciado) é o versor na direção . - Quero reescrever
usando os vetores unitários cilíndricos e as coordenadas .
Passo 2
Lembrete das relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas (aulas básicas):
Significado das variáveis:
-
é a distância radial no plano , -
é o ângulo polar medido a partir do eixo , -
é a coordenada vertical (iguais em ambos sistemas).
Relações entre os versores (rotação de ângulo
):
Estas duas equações formam uma rotação; invertendo (transposta da matriz de rotação) obtem-se:
Explicação rápida:
aponta radialmente (componente em
e
);
é tangencial (perpendicular a
). Para passar de
para a base cilíndrica usa-se a segunda expressão acima.
Passo 3
Substituo
e
por suas expressões em termos de
e
para obter o fator escalar do campo:
Isto é só álgebra simples: fatorando
.
Passo 4
Agora substituo a expressão de
em função de
e
:
Aqui foi usada a igualdade
(veja o Passo 2) e o fator escalar
do Passo 3.
Passo 5
Multiplicando para obter explicitamente as componentes nas direções cilíndricas:
Podemos também deixar na forma mais compacta do Passo 4; ambas são equivalentes. Se for útil na prova, uma alternativa trigonométrica seria expandir usando identidades (por exemplo expressar produtos em termos de
), mas não é necessário aqui.