Expresse em coordenadas polares as equações a seguir:
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação cartesiana da circunferência
e pede para expressá-la em coordenadas polares. Dados importantes que o enunciado fornece:
- A equação representa uma circunferência centrada em
com raio . - A tarefa é reescrever essa mesma curva usando as variáveis polares
e .
Passo 2
Lembrete do que são coordenadas polares e as fórmulas de conversão (essas são as ferramentas que vamos usar):
-
é a distância do ponto ao origem (sempre em representação padrão). -
é o ângulo que o segmento do ponto à origem faz com o eixo positivo.
As relações entre coordenadas cartesianase polares são
Isso quer dizer que, para passar uma equação de
para
, substituímos
por
e
por
.
Passo 3
Começamos manipulando a equação cartesiana para deixá-la pronta para substituir:
Expandindo o quadrado:
Subtraindo
dos dois lados obtemos uma forma mais simples:
Passo 4
Agora fazemos a substituição usando coordenadas polares. Lembrando que
e
, substituímos na equação:
Passo 5
Fatorando
na expressão obtemos
Isso indica as soluções
(o ponto origem) ou
A representação usual da circunferência em coordenadas polares é a equação não-trivial
Observações úteis para a prova: se adotar
então, para que
seja não negativo, normalmente consideramos os
com
(isto é,
em
); ainda assim a equação
descreve a circunferência completa centrada em
de raio
. Um fato geral: a circunferência de centro
e raio
se escreve em polares como
(aqui
dá
).