Expresse em coordenadas polares as equações a seguir:
(b) x^{2}+(y-4)^{2}=16;

Passo 1

O enunciado dá a equação cartesiana da circunferência
x^{2}+(y-4)^{2}=16
e pede para expressá-la em coordenadas polares. Dados importantes que o enunciado fornece:
  • A equação representa uma circunferência centrada em (0,4) com raio 4.
  • A tarefa é reescrever essa mesma curva usando as variáveis polares r e \theta.

Passo 2

Lembrete do que são coordenadas polares e as fórmulas de conversão (essas são as ferramentas que vamos usar):
  • r é a distância do ponto ao origem (sempre r\ge 0 em representação padrão).
  • \theta é o ângulo que o segmento do ponto à origem faz com o eixo x positivo.
    As relações entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Isso quer dizer que, para passar uma equação de x,y para r,\theta, substituímos x por r\cos\theta e y por r\sin\theta.

Passo 3

Começamos manipulando a equação cartesiana para deixá-la pronta para substituir:
x^{2}+(y-4)^{2}=16
Expandindo o quadrado:
x^{2}+y^{2}-8y+16=16.
Subtraindo 16 dos dois lados obtemos uma forma mais simples:
x^{2}+y^{2}-8y=0.

Passo 4

Agora fazemos a substituição usando coordenadas polares. Lembrando que x^{2}+y^{2}=r^{2} e y=r\sin\theta, substituímos na equação:
r^{2}-8(r\sin\theta)=0.

Passo 5

Fatorando r na expressão obtemos
r\bigl(r-8\sin\theta\bigr)=0.
Isso indica as soluções r=0 (o ponto origem) ou
r=8\sin\theta.
A representação usual da circunferência em coordenadas polares é a equação não-trivial
r=8\sin\theta.
Observações úteis para a prova: se adotar r\ge 0 então, para que r seja não negativo, normalmente consideramos os \theta com \sin\theta\ge 0 (isto é, \theta em [0,\pi]); ainda assim a equação r=8\sin\theta descreve a circunferência completa centrada em (0,4) de raio 4. Um fato geral: a circunferência de centro (0,a) e raio a se escreve em polares como r=2a\sin\theta (aqui a=4 r=8\sin\theta).

Resposta

r=8\sin\theta

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