Questão 2. Para a função
definida por
indique a única afirmação correta.
Abreviações: NN significa que no ponto
não possui nem máximo, nem mínimo; max significa que
possui um máximo local no ponto; min significa que
possui um mínimo local no ponto;
significa crítico.
1 Todas as outras respostas são incorretas
20 não é
é Cr NN e 3 é Cr NN.
30 é
não é Cr e 3 é Cr NN .
40 é Cr NN, 1 é Cr NN e 3 é Cr NN.
50 não é Cr , 1 é Cr NN e 3 não é Cr .
60 é min, 1 não é Cr e 3 não é Cr .
70 é Cr NN, 1 não é Cr e 3 não é Cr .
80 não é
não é Cr e 3 é Cr NN .
90 é min, 1 não é Cr e 3 é Cr NN.
100 não é
não é Cr e 3 não é Cr .
110 é min, 1 é Cr NN e 3 é Cr NN.
0 não é Cr , 1 é max e 3 é min.
130 é Cr NN, 1 é max e 3 é min.
140 é min, 1 é Cr NN e 3 não é Cr .
150 não é Cr , 1 é min e 3 é max.
160 é Cr NN, 1 é min e 3 é max.
0 é min, 1 é max e 3 é min.
180 é min, 1 é min e 3 é max.
19) 0 é Cr NN, 1 é Cr NN e 3 não é Cr .
Abreviações: NN significa que no ponto
20 não é
30 é
40 é Cr NN, 1 é Cr NN e 3 é Cr NN.
50 não é Cr , 1 é Cr NN e 3 não é Cr .
60 é min, 1 não é Cr e 3 não é Cr .
70 é Cr NN, 1 não é Cr e 3 não é Cr .
80 não é
90 é min, 1 não é Cr e 3 é Cr NN.
100 não é
0 não é Cr , 1 é max e 3 é min.
130 é Cr NN, 1 é max e 3 é min.
140 é min, 1 é Cr NN e 3 não é Cr .
150 não é Cr , 1 é min e 3 é max.
160 é Cr NN, 1 é min e 3 é max.
0 é min, 1 é max e 3 é min.
180 é min, 1 é min e 3 é max.
19) 0 é Cr NN, 1 é Cr NN e 3 não é Cr .
Passo 1
O enunciado nos dá a função
Pede para indicar a única afirmação correta dentre várias alternativas que descrevem se, nos pontos
, a função tem ponto crítico (abreviado
) ou não, e quando tem ponto crítico, se é máximo local (max), mínimo local (min) ou nenhum dos dois (NN).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função polinomial
está definida para todo . - As declarações a verificar referem-se especificamente aos pontos
.
O objetivo claro: determinar, para cada um desses pontos, se é ponto crítico e, quando for, classificar como máximo local, mínimo local ou nenhum.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como encontrar?
- Um ponto
é ponto crítico quando a derivada primeira ou é indefinida em . Para polinômios existe em todo lugar, então basta resolver .
Vamos calcular a derivada primeira de. Derivando termo a termo:
Aplicando as regras básicas (
e
):
Fatorando:
Agora resolvemos
:
Conclusão desta etapa: os únicos pontos críticos são
e
. Portanto
e
não são pontos críticos. (Para confirmar numericamente:
e
.)
Passo 3
Como classificar cada ponto crítico (máximo, mínimo ou nenhum)?
- Uma ferramenta simples e prática é o teste da segunda derivada: se
então tem mínimo local em ; se então tem máximo local em ; se o teste é inconclusivo e seria preciso investigar mais.
Calculamos a derivada segunda:
Agora avaliamos nos pontos críticos:
- Em
:
Como
, pelo teste da segunda derivada
tem um máximo local em
.
- Em
:
Como
, pelo teste da segunda derivada
tem um mínimo local em
.
Passo 4
Resumo final dos status dos pontos pedidos:
-
: não é ponto crítico (não é ). -
: é ponto crítico e é máximo local (max). -
: não é ponto crítico (não é ). -
: é ponto crítico e é mínimo local (min).
Comparando com as alternativas listadas no enunciado, a que corresponde exatamente a esse resultado é a alternativa que diz que
não é Cr,
é max e
é min.