Questão 2. Para a função f definida por
f(x)=2 x^{3}-12 x^{2}+18 x+1,
indique a única afirmação correta.
Abreviações: NN significa que no ponto f não possui nem máximo, nem mínimo; max significa que f possui um máximo local no ponto; min significa que f possui um mínimo local no ponto; \mathbf{C r} significa crítico.
1 Todas as outras respostas são incorretas
20 não é \mathrm{Cr}, 1 é Cr NN e 3 é Cr NN.
30 é \mathrm{Cr} \mathrm{NN}, 1 não é Cr e 3 é Cr NN .
40 é Cr NN, 1 é Cr NN e 3 é Cr NN.
50 não é Cr , 1 é Cr NN e 3 não é Cr .
60 é min, 1 não é Cr e 3 não é Cr .
70 é Cr NN, 1 não é Cr e 3 não é Cr .
80 não é \mathrm{Cr}, 1 não é Cr e 3 é Cr NN .
90 é min, 1 não é Cr e 3 é Cr NN.
100 não é \mathrm{Cr}, 1 não é Cr e 3 não é Cr .
110 é min, 1 é Cr NN e 3 é Cr NN.
0 não é Cr , 1 é max e 3 é min.
130 é Cr NN, 1 é max e 3 é min.
140 é min, 1 é Cr NN e 3 não é Cr .
150 não é Cr , 1 é min e 3 é max.
160 é Cr NN, 1 é min e 3 é max.
0 é min, 1 é max e 3 é min.
180 é min, 1 é min e 3 é max.
19) 0 é Cr NN, 1 é Cr NN e 3 não é Cr .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+1.
Pede para indicar a única afirmação correta dentre várias alternativas que descrevem se, nos pontos x=0,\;x=1,\;x=2,\;x=3, a função tem ponto crítico (abreviado \mathbf{C r}) ou não, e quando tem ponto crítico, se é máximo local (max), mínimo local (min) ou nenhum dos dois (NN).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função polinomial f está definida para todo x.
  • As declarações a verificar referem-se especificamente aos pontos x=0,\;x=1,\;x=2,\;x=3.
    O objetivo claro: determinar, para cada um desses pontos, se é ponto crítico e, quando for, classificar como máximo local, mínimo local ou nenhum.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como encontrar?
  • Um ponto x=a é ponto crítico quando a derivada primeira f'(a)=0 ou f' é indefinida em a. Para polinômios f' existe em todo lugar, então basta resolver f'(x)=0.
    Vamos calcular a derivada primeira de f. Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(12x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(18x\bigr)+\frac{d}{dx}(1).
Aplicando as regras básicas ( \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1} e \frac{d}{dx}\text{(c)}=0):
f'(x)=6x^{2}-24x+18.
Fatorando:
f'(x)=6\bigl(x^{2}-4x+3\bigr)=6(x-1)(x-3).
Agora resolvemos f'(x)=0:
6(x-1)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \quad\text{ou}\quad x=3.
Conclusão desta etapa: os únicos pontos críticos são x=1 e x=3. Portanto x=0 e x=2 não são pontos críticos. (Para confirmar numericamente: f'(0)=18\neq0 e f'(2)=6(4-8+3)=6(-1)=-6\neq0.)

Passo 3

Como classificar cada ponto crítico (máximo, mínimo ou nenhum)?
  • Uma ferramenta simples e prática é o teste da segunda derivada: se f''(a)>0 então f tem mínimo local em a; se f''(a)<0 então tem máximo local em a; se f''(a)=0 o teste é inconclusivo e seria preciso investigar mais.
    Calculamos a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}-24x+18\bigr)=12x-24=12(x-2).
Agora avaliamos nos pontos críticos:
  • Em x=1:
f''(1)=12(1-2)=12(-1)=-12<0.
Como f''(1)<0, pelo teste da segunda derivada f tem um máximo local em x=1.
  • Em x=3:
f''(3)=12(3-2)=12(1)=12>0.
Como f''(3)>0, pelo teste da segunda derivada f tem um mínimo local em x=3.

Passo 4

Resumo final dos status dos pontos pedidos:
  • x=0: não é ponto crítico (não é \mathbf{C r}).
  • x=1: é ponto crítico e é máximo local (max).
  • x=2: não é ponto crítico (não é \mathbf{C r}).
  • x=3: é ponto crítico e é mínimo local (min).
Comparando com as alternativas listadas no enunciado, a que corresponde exatamente a esse resultado é a alternativa que diz que 0 não é Cr, 1 é max e 3 é min.

Resposta

0 não é Cr, 1 é max e 3 é min.

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