Faça um esboço das curvas dadas pelas seguintes equações em coordenadas polares
(a) r=2, \quad-\pi \leq 0 \leq \pi;

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=2,\quad -\pi \leq \theta \leq \pi.
O que é pedido: esboçar (desenhar/identificar) a curva definida por essa equação e esse intervalo de \theta. Informações relevantes fornecidas:
  • r é constante igual a 2.
  • \theta varia de -\pi até \pi (intervalo que cobre uma volta completa, com \theta=-\pi e \theta=\pi representando o mesmo ponto).

Passo 2

Entender o que significam r e \theta e como passar para coordenadas cartesianas (isso ajuda a reconhecer a forma da curva):
  • Em coordenadas polares, cada ponto tem um par (r,\theta) onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • As fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • A relação entre r e x,y é
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Essas fórmulas dizem o que cada símbolo significa e como trocar entre os sistemas.

Passo 3

Aplicar r=2 na relação cartesiana para identificar a curva:
  • Substituindo r=2 em r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} obtemos
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2.
  • Elevando ao quadrado (passo simples e seguro porque r\ge0),
x^{2}+y^{2}=4.
Explicação didática: a equação x^{2}+y^{2}=4 é a equação cartesiana de uma circunferência centrada na origem (0,0) com raio \sqrt{4}=2. Ou seja, todos os pontos a distância 2 do centro.

Passo 4

Parâmetrização e pontos notáveis (útil para esboçar à mão):
  • Usando x= r\cos\theta e y=r\sin\theta com r=2 obtemos a parametrização
x(\theta)=2\cos\theta,\qquad y(\theta)=2\sin\theta.
  • Calculemos alguns pontos importantes (usei valores de \cos e \sin conhecidos):
    • \theta=0\Rightarrow (x,y)=(2,0).
    • \theta=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,2).
    • \theta=\pi\Rightarrow (x,y)=(-2,0).
    • \theta=-\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,-2).
    • \theta=-\pi dá o mesmo ponto que \theta=\pi: (x,y)=(-2,0).
      Esses pontos servem de guia para desenhar a circunferência.

Passo 5

Como o intervalo de \theta afeta o traçado:
  • O intervalo -\pi\le\theta\le\pi faz com que a circunferência seja percorrida exatamente uma vez (os extremos \theta=-\pi e \theta=\pi representam o mesmo ponto (-2,0)).
  • À medida que \theta aumenta nesse intervalo, o ponto percorre a circunferência no sentido usual (ângulo crescente), passando por (-2,0) (0,-2) (2,0) (0,2) (-2,0) (ou seja, faz-se uma volta completa).

Passo 6

Como fazer o esboço passo a passo (perfeito para prova, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque no eixo x os pontos (2,0) e (-2,0) e no eixo y os pontos (0,2) e (0,-2).
  3. Desenhe uma circunferência centrada na origem que passe por esses quatro pontos (radio igual a 2).
  4. Opcional: indique com uma seta o sentido de varredura conforme \theta cresce de -\pi a \pi e marque o ponto inicial/final em (-2,0).
    Dica prática: para um esboço rápido, basta um círculo centrado na origem com raio 2 e os quatro pontos cardeais marcados.

Resposta

Circunferência centrada na origem de raio 2 (equação cartesiana x^{2}+y^{2}=4); a curva é percorrida uma vez quando -\pi\le\theta\le\pi, com ponto inicial/final em (-2,0).

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