Faça um esboço das curvas dadas pelas seguintes equações em coordenadas polares
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
O que é pedido: esboçar (desenhar/identificar) a curva definida por essa equação e esse intervalo de
. Informações relevantes fornecidas:
-
é constante igual a . -
varia de até (intervalo que cobre uma volta completa, com e representando o mesmo ponto).
Passo 2
Entender o que significam
e
e como passar para coordenadas cartesianas (isso ajuda a reconhecer a forma da curva):
- Em coordenadas polares, cada ponto tem um par
onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo. - As fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas são
- A relação entre
e é
Essas fórmulas dizem o que cada símbolo significa e como trocar entre os sistemas.
Passo 3
Aplicar
na relação cartesiana para identificar a curva:
- Substituindo
em obtemos
- Elevando ao quadrado (passo simples e seguro porque
),
Explicação didática: a equação
é a equação cartesiana de uma circunferência centrada na origem
com raio
. Ou seja, todos os pontos a distância
do centro.
Passo 4
Parâmetrização e pontos notáveis (útil para esboçar à mão):
- Usando
e com obtemos a parametrização
- Calculemos alguns pontos importantes (usei valores de
e conhecidos): -
. -
. -
. -
. -
dá o mesmo ponto que : .
Esses pontos servem de guia para desenhar a circunferência.
-
Passo 5
Como o intervalo de
afeta o traçado:
- O intervalo
faz com que a circunferência seja percorrida exatamente uma vez (os extremos e representam o mesmo ponto ). - À medida que
aumenta nesse intervalo, o ponto percorre a circunferência no sentido usual (ângulo crescente), passando por → → → → (ou seja, faz-se uma volta completa).
Passo 6
Como fazer o esboço passo a passo (perfeito para prova, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . - Marque no eixo
os pontos e e no eixo os pontos e . - Desenhe uma circunferência centrada na origem que passe por esses quatro pontos (radio igual a
). - Opcional: indique com uma seta o sentido de varredura conforme
cresce de a e marque o ponto inicial/final em .
Dica prática: para um esboço rápido, basta um círculo centrado na origem com raioe os quatro pontos cardeais marcados.
Resposta
Circunferência centrada na origem de raio
(equação cartesiana
); a curva é percorrida uma vez quando
, com ponto inicial/final em
.