Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
1,234234234 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para transformar a dízima periódica decimal 1,234234234\ldots (onde o bloco “234” se repete infinitamente) numa fração comum. O conteúdo aqui é a técnica de multiplicar por uma potência de 10 que iguala as partes decimais para então subtrair as equações e eliminar a repetição.

Passo 2

Definimos
x = 1,234234234\ldots
e observamos que o período tem 3 algarismos (“234”), então multiplicamos ambos os lados por 10^3=1000:
1000x = 1234,234234234\ldots

Passo 3

Agora subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a parte decimal repetida:
1000x - x = 1234,234234234\ldots - 1,234234234\ldots
999x = 1233

Passo 4

Isolando x, obtemos
x = \frac{1233}{999}.
Em seguida, simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{1233}{999} = \frac{411}{333}.
Podemos dividir de novo por 3:
\frac{411}{333} = \frac{137}{111}.

Resposta

\frac{137}{111}

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