expresse as equações paramétricas como uma única equação vetorial da forma \mathbf{r}=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j} ou \mathbf{r}=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}.
x=3 \cos t, y=t+\operatorname{sen} t.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas
x(t)=3\cos t,
y(t)=t+\operatorname{sen} t
e pede para escrever tudo numa única equação vetorial da forma \mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}. O conteúdo envolvido é a representação vetorial de curvas paramétricas em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Sabemos que, em \mathbb{R}^2, uma curva dada por x(t) e y(t) pode ser escrita como
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Basta substituir x(t)=3\cos t e y(t)=t+\operatorname{sen} t na fórmula acima:
\mathbf{r}(t)=3\cos t\,\mathbf{i}+\bigl(t+\operatorname{sen} t\bigr)\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{r}(t)=3\cos t\,\mathbf{i}+\bigl(t+\operatorname{sen} t\bigr)\,\mathbf{j}.

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