calcule as integrais transformando-as em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede a integral
A região projetada no plano
é o disco de raio
, e para cada ponto
a altura em
vai de
até
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
com jacobiano
. A projeção no plano
vira
e em
temos
Passo 3
Substituindo na integral original obtemos
Passo 4
Integramos primeiro em
, usando
Logo, para cada
,
Passo 5
A parte em
é direta:
Assim a integral reduz a
Passo 6
Separando em duas integrais em
:
A primeira é
Para a segunda use
,
:
Logo
Passo 7
Multiplicando por
vem