calcule as integrais transformando-as em coordenadas cilíndricas.
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3-x^{2}}}^{\sqrt{3-x^{2}}} \int_{1}^{4-x^{2}-y^{2}} \frac{1}{z^{2}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3 - x^{2}}}^{\sqrt{3 - x^{2}}} \int_{1}^{4 - x^{2} - y^{2}} \frac{1}{z^{2}} \, dz \, dy \, dx.
A região projetada no plano xy é o disco de raio \sqrt{3}, e para cada ponto (x,y) a altura em z vai de 1 até 4 - (x^{2}+y^{2}). Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta,\quad z = z,
com jacobiano r. A projeção no plano xy vira
0 \le r \le \sqrt{3},\quad 0 \le \theta \le 2\pi,
e em z temos
1 \le z \le 4 - r^{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{3}} \int_{z=1}^{4 - r^{2}} \frac{1}{z^{2}} \, r \, dz \, dr \, d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z, usando
\int \frac{1}{z^{2}} \, dz = -\frac{1}{z}.
Logo, para cada r,
\int_{1}^{4 - r^{2}} \frac{r}{z^{2}} \, dz = r \Bigl[-\tfrac{1}{z}\Bigr]_{1}^{4 - r^{2}} = r\Bigl(-\tfrac{1}{4 - r^{2}} + 1\Bigr) = r - \frac{r}{4 - r^{2}}.

Passo 5

A parte em \theta é direta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Assim a integral reduz a
2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \Bigl(r - \frac{r}{4 - r^{2}}\Bigr) dr.

Passo 6

Separando em duas integrais em r:
\int_{0}^{\sqrt{3}} r \, dr \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{r}{4 - r^{2}} \, dr.
A primeira é
\int_{0}^{\sqrt{3}} r \, dr = \Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{\sqrt{3}} = \tfrac{3}{2}.
Para a segunda use u = 4 - r^{2}, du = -2r\,dr:
\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{r}{4 - r^{2}} \, dr = \frac{1}{2}\int_{u=4}^{1} \frac{-du}{u} = \frac{1}{2}[\ln u]_{4}^{1} = \frac{\ln 4}{2}.
Logo
\int_{0}^{\sqrt{3}} \Bigl(r - \frac{r}{4 - r^{2}}\Bigr) dr = \frac{3}{2} - \frac{\ln 4}{2} = \frac{3 - \ln 4}{2}.

Passo 7

Multiplicando por 2\pi vem
2\pi \cdot \frac{3 - \ln 4}{2} = \pi\,\bigl(3 - \ln 4\bigr) = \pi\,\bigl(3 - 2\ln 2\bigr).

Resposta

\pi \bigl(3 - 2\ln 2\bigr)

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