Calcule \iiint_{W} f(x, y, z) d V
usando coordenadas cilíndricas.
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} ; W é a região 0 \leq r \leq 4, \pi / 4 \leq \theta \leq 3 \pi / 4, -1 \leq z \leq 1 R. 200 \pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede
calcular
\iiint_{W}f(x,y,z)\,dV
onde f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 e W é dado em coordenadas cilíndricas por
0\le r\le4,\quad \frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{3\pi}{4},\quad -1\le z\le1.
Como sabemos, em coordenadas cilíndricas temos
x^2+y^2=r^2,
o elemento de volume é
dV=r\,dz\,dr\,d\theta,
e a função fica
f(r,\theta,z)=r^2+z^2.

Passo 2

Escrevemos o integral em cilindricas:
\iiint_{W}(x^2+y^2+z^2)\,dV =\int_{\theta=\pi/4}^{3\pi/4}\int_{r=0}^{4}\int_{z=-1}^{1}(r^2+z^2)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{z=-1}^{1}(r^2+z^2)\,r\,dz =r\int_{-1}^{1}(r^2+z^2)\,dz =r\Bigl[r^2z+\frac{z^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =r\Bigl(2r^2+\frac{2}{3}\Bigr) =2r^3+\frac{2}{3}r.

Passo 4

Agora integramos em r:
\int_{0}^{4}\Bigl(2r^3+\frac{2}{3}r\Bigr)\,dr =2\int_{0}^{4}r^3\,dr+\frac{2}{3}\int_{0}^{4}r\,dr =2\cdot\frac{4^4}{4}+\frac{2}{3}\cdot\frac{4^2}{2} =2\cdot64+\frac{2}{3}\cdot8 =128+\frac{16}{3} =\frac{400}{3}.

Passo 5

Por fim, integramos em \theta no intervalo \bigl[\pi/4,3\pi/4\bigr]:
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{400}{3}\,d\theta =\frac{400}{3}\Bigl(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\Bigr) =\frac{400}{3}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{200\pi}{3}.

Resposta

\iiint_{W}f(x,y,z)\,dV =\frac{200\pi}{3}.

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