Expresse as equações paramétricas como uma única equação vetorial da forma
r = x(t) i + y(t) j ou r = x(t) i + y(t) j + z(t) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar equações paramétricas em uma única equação vetorial da forma ou . Isso está dentro da matéria de vetores e representação vetorial no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como juntar as funções paramétricas , e, se houver, , em uma única expressão vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são equações paramétricas. Elas descrevem as coordenadas de pontos em uma curva usando uma variável comum, geralmente , que pode representar o tempo ou algum parâmetro que varia. Por exemplo, uma trajetória no plano pode ser descrita por:
Aqui, para cada valor de , temos um ponto .

Passo 3

Agora, precisamos juntar essas expressões em uma única equação vetorial. Um vetor no plano pode ser representado por suas componentes nas direções dos eixos e , que são os vetores unitários e . Então, se temos e , podemos escrever o vetor posição como:
Isso significa que, para cada , o vetor aponta para o ponto .

Passo 4

Se estivermos trabalhando no espaço tridimensional, além de e , teremos também uma função . Nesse caso, adicionamos a componente , que é o vetor unitário na direção do eixo . A equação vetorial fica:
Isso representa um vetor que aponta para o ponto no espaço.

Resposta

Assim, para transformar as equações paramétricas em uma única equação vetorial, basta combinar as funções , e com os vetores unitários , e respectivamente. A equação vetorial resultante será:

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