Calcule os limites:
(h) lim x 0 tg(x)+2 xx+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 tan(x)+2xx+x^2. Este exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em Limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar conhecer as definições de limite, a função tangente e algumas propriedades básicas das funções polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando tan(0) + 2 cdot 00 + 0^2 = 0 + 00 + 0 = 00 se aproxima de 0. Substituindo :
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 3

Uma das técnicas que podemos usar nesse caso é a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração que resulta em ou derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx (tan(x) + 2x) = sec^2(x) + 2 :
  • Derivada do numerador ddx (x + x^2) = 1 + 2x :
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas no limite original:
lim x 0 sec^2(x) + 21 + 2x

Passo 6

Vamos calcular o valor desse novo limite substituindo sec^2(0) + 21 + 2 cdot 0 = 1 + 21 + 0 = 31 = 3 :

Resposta

O limite é igual a 3.

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