Expresse f(t) em termos da função degrau unitário u_{c}(t) :
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & 0 \leq t<3, \\\\ -2, & 3 \leq t<5, \\\\ 2, & 5 \leq t<7, \\\\ 1, & t \geq 7 .\end{array} \right.

Passo 1

No enunciado temos a função f(t)\) definida em partes: \[f(t) = \begin{cases} 0, & 0 \le t < 3,\\\\ -2, & 3 \le t < 5,\\\\ 2, & 5 \le t < 7,\\\\ 1, & t \ge 7. \end{cases}
O objetivo é escrever f(t)\] em termos das funções degrau unitário \(u_c(t)=u(t-c).

Passo 2

Para usar essa representação, notamos que cada degrau u_c(t) “liga” um aumento constante a partir de t=c. Assim podemos montar f(t) como soma do valor inicial (que aqui é zero) mais os saltos em cada ponto de mudança, multiplicados pelos respectivos u_c(t).

Passo 3

Calculamos os saltos em cada descontinuidade:
Em t=3 a função vai de 0 para -2, salto -2.
Em t=5 passa de -2 para 2, salto +4.
Em t=7 vai de 2 para 1, salto -1.

Passo 4

Logo, somando esses saltos pelo método dos degraus, obtemos
f(t) = -2\,u_3(t) \;+\; 4\,u_5(t) \;-\; 1\,u_7(t).

Passo 5

Verificando em cada intervalo:
para t<3 todos os u_c(t)=0, então f=0;
para 3\le t<5 u_3=1, logo f=-2;
para 5\le t<7 u_3=u_5=1, logo f=-2+4=2;
para t\ge7 todos os degraus valem 1 e f=-2+4-1=1. Está de acordo com a definição.

Resposta

f(t) = -2\,u_3(t) + 4\,u_5(t) - u_7(t)

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