Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)= \begin{cases}0 & t<1 \\\ t^{2}-2 t+2 & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)= \begin{cases} 0, & t<1,\\\ t^{2}-2t+2, & t\ge1. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é a representação com o degrau de Heaviside e o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de descolamento):
\mathcal{L}\{g(t-a)\,u(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 2

Vamos escrever f(t) usando o degrau u(t-1). Para t\ge1, f(t)=t^{2}-2t+2, e para t<1 ela é zero. Assim
f(t)=(t^{2}-2t+2)\,u(t-1).

Passo 3

Para aplicar o teorema de deslocamento, identificamos uma função g tal que f(t)=g(t-1)\,u(t-1). Basta fazer a mudança de variável \tau=t-1. Então
g(\tau)=( (\tau+1)^{2}-2(\tau+1)+2 ).
Expandindo:
(\tau+1)^{2}-2(\tau+1)+2 =\tau^{2}+2\tau+1-2\tau-2+2 =\tau^{2}+1.
Portanto g(\tau)=\tau^{2}+1 e temos f(t)=g(t-1)\,u(t-1).

Passo 4

Agora calculamos a transformada G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s). Como g(t)=t^{2}+1, vale
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}, \quad \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.
Logo
G(s)=\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}.

Passo 5

Pelo teorema do deslocamento,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =e^{-1\cdot s}\;G(s) =e^{-s}\Bigl(\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =e^{-s}\Bigl(\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}\Bigr).

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