(a) Expresse
(b) Utilizando a expressão da função .

Passo 1

O enunciado dá uma função em partes
f(t)= 0, & 0 <= t<1, t^2-2t, & 1<= t<3, 0, & t>=3,
e pede (a) expressá-la com funções escada u(t-a) e (b) calcular Lf(t). Vamos usar o conceito de função degrau e o segundo teorema de deslocamento na transformada de Laplace.

Passo 2

Entre t=1 e t=3 temos f(t)=t^2-2t e fora desse intervalo f(t)=0. Logo podemos escrever
f(t)=l(t^2-2tr),l[u(t-1)-u(t-3)r]

Passo 3

Para aplicar o segundo teorema de deslocamento, note que
l(t^2-2tr)u(t-1)=h(t-1),u(t-1), com h(tau)=f(tau+1)=(tau+1)^2-2(tau+1)=tau^2-1,
e
l(t^2-2tr)u(t-3)=g(t-3),u(t-3), com g(tau)=f(tau+3)=(tau+3)^2-2(tau+3)=tau^2+4tau+3
Então
Lf(t) =Lh(t-1)u(t-1)-Lg(t-3)u(t-3) =e^-s,Lh(t) -e^-3s,Lg(t)

Passo 4

Calculemos as transformadas básicas:
Lh(t) =integral0^infty(t^2-1)e^-st,dt =integral0^inftyt^2e^-stdt -integral0^inftye^-stdt =2s^3-1s,
Lg(t) =integral0^infty(t^2+4t+3)e^-stdt =2s^3+4s^2+3s
Logo
Lf(t) =e^-sl(2s^3-1sr) -e^-3sl(2s^3+4s^2+3sr)

Resposta

a) f(t)=l(t^2-2tr)l[u(t-1)-u(t-3)r]
b) Lf(t) =e^-sl(2s^3-1sr) -e^-3sl(2s^3+4s^2+3sr)

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