Em cada item a seguir, classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Dê um contra-exemplo, caso a afirmação seja falsa.
Considere: Ann(K), Bnn(K) e Pn(K) onde K=R ou C .
Se A^2=A, e A neq ln então det(A)=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Se A é uma matriz quadrada sobre K (R ou C) com A² = A e A ≠ Iₙ, então det(A) = 0.”
Conteúdo envolvido:
  • Matriz idempotente (A² = A)
  • Propriedades de determinante (produto, inversibilidade)
    O que vamos usar:
  1. det(AB) = det(A)·det(B)
  2. Uma matriz é invertível sse seu determinante ≠ 0
  3. Se A² = A e A⁻¹ existe, dá pra simplificar pra achar A = Iₙ

Passo 2

Primeiro, nota que A² = A implica, tomando determinante dos dois lados:
det(A²) = det(A) ²
Mas como det(A²) = det(Acdot A) = det(A),det(A) = [det(A)]^2², temos
[det(A)]^2 = det(A)
Isso é uma equação simples em x = det(A):
x^2 = x Longrightarrow x,(x - 1) = 0 Longrightarrow x = 0 ou x = 1
Logo descobrimos que det(A) só pode ser 0 ou 1.

Passo 3

Agora, se por acaso det(A)=1, então A é invertível. Mas aí podemos multiplicar A² = A² pela inversa de A e obter
A = Iₙ
Porém o enunciado diz que A ≠ Iₙ, então não cabe det(A)=1. Sobrou só
det(A) = 0

Resposta

A afirmação é verdadeira: sempre que A² = A e A ≠ Iₙ, então de fato det(A) = 0.

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