Em cada item a seguir, classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Dê um contra-exemplo, caso a afirmação seja falsa.
Considere:
e
onde
ou C .
Se
então
.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Se A é uma matriz quadrada sobre K (R ou C) com A² = A e A ≠ Iₙ, então det(A) = 0.”
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Matriz idempotente (A² = A)
- Propriedades de determinante (produto, inversibilidade)
O que vamos usar:
- det(AB) = det(A)·det(B)
- Uma matriz é invertível sse seu determinante ≠ 0
- Se A² = A e A⁻¹ existe, dá pra simplificar pra achar A = Iₙ
Passo 2
Primeiro, nota que A² = A implica, tomando determinante dos dois lados:
Mas como
, temos
Isso é uma equação simples em x = det(A):
Logo descobrimos que det(A) só pode ser 0 ou 1.
Passo 3
Agora, se por acaso
, então A é invertível. Mas aí podemos multiplicar
pela inversa de A e obter
Porém o enunciado diz que A ≠ Iₙ, então não cabe det(A)=1. Sobrou só
Resposta
A afirmação é verdadeira: sempre que A² = A e A ≠ Iₙ, então de fato det(A) = 0.