Expresse a função 10 n^3-5 n^2-10 n+3 em termos da notação Theta.

Passo 1

A questão pede para a gente expressar a função 10n^3-5n^2-10n+3 usando notação Theta. Este é um tópico de análise assintótica de funções e vamos recorrer à definição de Theta-notação e às propriedades de polinômios para resolver.

Passo 2

Em um polinômio, o termo que mais cresce para n grande é sempre o de maior grau. Aqui o termo dominante é 10n^3, já que n^3 cresce mais rápido que n^2, n ou constante. Isso sugere que a nossa função deve estar em Theta(n^3).

Passo 3

Para formalizar, fatoramos n^3 em toda a expressão:
10n^3-5n^2-10n+3 = n^3l(10 - 5n - 10n^2 + 3n^3r)
Quando n fica grande (por exemplo n>=2), os termos 5/n, 10/n^2 e 3/n^3 viram números pequenos, e o parêntese fica preso num intervalo limitado, digamos entre 4.6 e 16. Logo temos
4.6,n^3 <= 10n^3-5n^2-10n+3 <= 16,n^3,
para todo n>=2. Isso prova, pela definição de Theta, que existem constantes positivas c1=4.6, c2=16 e n0=2 satisfazendo
c1n^3 <= f(n) <= c2n^3 (forall n>= n0)

Passo 4

Como encontramos tais constantes, concluímos que
10n^3-5n^2-10n+3 = Theta(n^3)

Resposta

Theta(n^3)

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