Expresse as funções racionais como frações parciais
\frac{1}{x^{4}-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional
\frac{1}{x^{4}-1}
em frações parciais. O conteúdo envolvido é álgebra de frações racionais: vamos escrever \frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}
como soma de termos mais simples com denominadores lineares e quadráticos irreduzíveis.

Passo 2

Supomos a forma
\frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)(x^2+1), obtemos a identidade polinomial
1 = A\,(x+1)(x^2+1)+B\,(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)\,(x^2-1).

Passo 3

Expandindo cada termo, temos
A\,(x+1)(x^2+1)=A\,(x^3+x^2+x+1),
B\,(x-1)(x^2+1)=B\,(x^3 - x^2 + x - 1),
(Cx+D)\,(x^2-1)=C x^3 +D x^2 -C x -D.
Somando tudo, o lado direito vira
(A+B+C)\,x^3 \;+\;(A - B + D)\,x^2\;+\;(A + B - C)\,x\;+\;(A - B - D).

Passo 4

Como isso deve valer identicamente 1=0\,x^3+0\,x^2+0\,x+1, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A+B+C=0,\\\ A - B +D=0,\\\ A + B - C=0,\\\ A - B - D=1. \end{cases}
Dessa forma encontra-se
A=\tfrac{1}{4},\quad B=-\tfrac{1}{4},\quad C=0,\quad D=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{x^4-1} =\frac{1/4}{x-1}-\frac{1/4}{x+1}-\frac{1/2}{x^2+1} =\frac{1}{4(x-1)}-\frac{1}{4(x+1)}-\frac{1}{2(x^2+1)}.

Exercícios relacionados