Expresse as funções racionais como frações parciais
\frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}.
O conteúdo aqui é frações parciais para um fator linear (x-1) e um quadrático irreduzível (x^2+1).

Passo 2

Assumimos a forma geral da decomposição:
\frac{1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B\,x + C}{x^2+1},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x^2+1) e expandimos:
1 = A(x^2+1) + (B\,x + C)(x-1).
Expandindo os termos:
1 = A x^2 + A + B x^2 - B x + C x - C = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (A - C).

Passo 4

Comparando coeficientes de cada potência de x\) com o polinômio constante \(1\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -\,B + C = 0,\\\ A - C = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem C = B\]. Da primeira, \(A = -B. Substituindo em A - C = 1
-\,B - B = 1 \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac12,
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A = \tfrac12, \qquad C = -\tfrac12.

Passo 5

Substituindo A, B e C na forma inicial, resulta
\frac{1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{\tfrac12}{x-1} + \frac{-\tfrac12\,x - \tfrac12}{x^2+1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{x+1}{2(x^2+1)}.

Resposta

\frac{1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{x+1}{2(x^2+1)}.

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