Expresse as funções racionais como frações parciais
Separar \frac{3 x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{3 x^{2}}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} em \frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1}
(a) Pelo método do encubrimento encontre A
(b) \operatorname{Com} A calculado, subtraer A /(x-1) do lado esquerdo. Encontre A x+B
(c) Integre todos os termos.

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional
\frac{3x^{2}}{x^{3}-1} \;=\;\frac{3x^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}
na forma
\frac{A}{x-1} \;+\;\frac{Bx+C}{x^{2}+x+1},
usando (a) o método do encobrimento para achar A, (b) depois subtrair \tfrac{A}{x-1} para determinar Bx+C, e (c) integrar o resultado.

Passo 2

Para achar A pelo método do encobrimento, multiplicamos a igualdade original por (x-1) e avaliamos em x=1:
\left.\frac{3x^{2}}{x^{2}+x+1}\right|_{x=1} =\frac{3\cdot1^{2}}{1^{2}+1+1} =\frac{3}{3}=1.
Logo, A=1.

Passo 3

Agora escrevemos
\frac{3x^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}-\frac{1}{x-1} =\frac{Bx+C}{x^{2}+x+1}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{3x^{2}-\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}{(x-1)(x^{2}+x+1)} =\frac{Bx+C}{x^{2}+x+1}.
No numerador,
3x^{2}-\bigl(x^{2}+x+1\bigr)=2x^{2}-x-1.
Então devemos ter
2x^{2}-x-1=(Bx+C)(x-1)=Bx^{2}-(B-C)x -C.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} B=2,\\\\ -(B-C)=-1\implies C=1,\\\\ -C=-1\implies C=1, \end{cases}
confirmando B=2 e C=1.

Passo 4

A decomposição final é
\frac{3x^{2}}{x^{3}-1} =\frac{1}{x-1}+\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}.
Integramos termo a termo:
\int\frac{1}{x-1}\,dx=\ln\lvert x-1\rvert,
\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx \quad\text{como}\quad \frac{d}{dx}(x^{2}+x+1)=2x+1,
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\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx =\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
Somando,
\int\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx =\ln\lvert x-1\rvert +\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)+C.

Resposta

(a) A=1
(b) B=2, C=1
(c) \displaystyle \int\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx =\ln\lvert x-1\rvert+\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)+C

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