Expresse as funçōes racionais como fraçōes parciais
Separar \frac{3 x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{3 x^{2}}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} \mathrm{em} \frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1}
(a) Pelo método do encubrimento encontre A
(b) Com A calculado, substraer A /(x-1) do lado esquerdo. Encontre A x+B
(c) Integre todos os termos.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou listar ponto a ponto para ficar claro):
As perguntas concretas são:
(a) Pelo método do encobrimento (cover-up) encontre A.
(b) Com A calculado, subtrair A/(x-1) do lado esquerdo e encontrar o numerador restante (isto é, encontrar Bx+C).
(c) Integrar todos os termos resultantes (ou seja, calcular \displaystyle\int \frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx usando a decomposição).
Passo 2
Explicando o método do encobrimento (cover-up) e aplicando para achar A.
Breve explicação do método do encobrimento:
Quando a decomposição tem um termo \dfrac{A}{x-r} com x-r sendo um fator simples (não repetido) do denominador, a técnica do “encobrimento” diz que A é obtido fazendo-se:
“cobrir” o fator x-r no denominador original e avaliar a função resultante em x=r.
Em outras palavras, para
\frac{P(x)}{(x-r)Q(x)}=\frac{A}{x-r}+\cdots,tem-seA=\left.\frac{P(x)}{Q(x)}\right|_{x=r},desde que Q(r)\neq0.
Uma checagem rápida: unir os termos do lado direito sobre o denominador (x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1 devolve o numerador original 3x^{2} (pode verificar multiplicando e somando), então está consistente.
Passo 6
Integrar todos os termos: calcular \displaystyle\int \frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx com a decomposição encontrada.