Expresse as funçōes racionais como fraçōes parciais
Separar \frac{3 x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{3 x^{2}}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} \mathrm{em} \frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1}
(a) Pelo método do encubrimento encontre A
(b) Com A calculado, substraer A /(x-1) do lado esquerdo. Encontre A x+B
(c) Integre todos os termos.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar ponto a ponto para ficar claro):
  • Dada a função racional
\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{3x^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}
  • Pede decompor em frações parciais no formato
\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+x+1}.
As perguntas concretas são:
(a) Pelo método do encobrimento (cover-up) encontre A.
(b) Com A calculado, subtrair A/(x-1) do lado esquerdo e encontrar o numerador restante (isto é, encontrar Bx+C).
(c) Integrar todos os termos resultantes (ou seja, calcular \displaystyle\int \frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx usando a decomposição).

Passo 2

Explicando o método do encobrimento (cover-up) e aplicando para achar A.
Breve explicação do método do encobrimento:
  • Quando a decomposição tem um termo \dfrac{A}{x-r} com x-r sendo um fator simples (não repetido) do denominador, a técnica do “encobrimento” diz que A é obtido fazendo-se:
    • “cobrir” o fator x-r no denominador original e avaliar a função resultante em x=r.
    • Em outras palavras, para
    \frac{P(x)}{(x-r)Q(x)}=\frac{A}{x-r}+\cdots,tem-se A=\left.\frac{P(x)}{Q(x)}\right|_{x=r},desde que Q(r)\neq0.
Aplicando ao nosso caso:
  • Aqui r=1, P(x)=3x^{2} e Q(x)=x^{2}+x+1. Então
A=\left.\frac{3x^{2}}{x^{2}+x+1}\right|_{x=1}=\frac{3\cdot 1^{2}}{1^{2}+1+1}=\frac{3}{3}=1.
Logo A=1.

Passo 3

Subtrair \dfrac{A}{x-1} do lado esquerdo para achar o resto \dfrac{Bx+C}{x^{2}+x+1}.
Com A=1 fazemos:
\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}-\frac{1}{x-1}
Recordando que x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1), escrevemos \dfrac{1}{x-1} com o mesmo denominador:
\frac{1}{x-1}=\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}-1}.
Agora subtraímos as frações (mesmo denominador x^{3}-1):
\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}-\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}-1}=\frac{3x^{2}-(x^{2}+x+1)}{x^{3}-1}=\frac{2x^{2}-x-1}{x^{3}-1}.
Portanto
\frac{Bx+C}{x^{2}+x+1}=\frac{2x^{2}-x-1}{x^{3}-1}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}+x+1 obtemos uma expressão para o numerador procurado:
Bx+C=\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}.

Passo 4

Determinar Bx+C fazendo a divisão polinomial \dfrac{2x^{2}-x-1}{x-1}.
Vamos dividir 2x^{2}-x-1 por x-1. Faço a divisão passo a passo (método sintético/longa):
  • Pelo método sintético (raiz 1): coeficientes de 2x^{2}-x-1 são 2,\,-1,\,-1.
    • Baixa 2.
    • Multiplica 1\cdot 2=2; soma com -1 1.
    • Multiplica 1\cdot 1=1; soma com -1 0.
  • O quociente tem coeficientes 2 e 1, ou seja 2x+1; o resto é 0.
Assim
\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}=2x+1.
Logo
Bx+C=2x+1,
portanto B=2 e C=1.

Passo 5

Escrever a decomposição em frações parciais completa e checar rapidamente (opcional).
Obtemos
\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{1}{x-1}+\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}.
Uma checagem rápida: unir os termos do lado direito sobre o denominador (x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1 devolve o numerador original 3x^{2} (pode verificar multiplicando e somando), então está consistente.

Passo 6

Integrar todos os termos: calcular \displaystyle\int \frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx com a decomposição encontrada.
Integramos termo a termo:
  • Primeiro termo:
\int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln\lvert x-1\rvert + C_{1}.
  • Segundo termo:
\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx.
Note que a derivada do denominador x^{2}+x+1 é 2x+1, exatamente o numerador. Então fazemos a substituição direta u=x^{2}+x+1, du=(2x+1)\,dx, e obtemos
\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln\lvert u\rvert + C_{2}=\ln\lvert x^{2}+x+1\rvert + C_{2}.
Somando as duas partes (absorvendo constantes em uma só constante de integração C):
\int \frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx=\ln\lvert x-1\rvert + \ln\lvert x^{2}+x+1\rvert + C.
Opcionalmente, pode-se combinar os logaritmos:
\int \frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx=\ln\bigl(\lvert x-1\rvert\cdot\lvert x^{2}+x+1\rvert\bigr)+C.

Resposta

(a) A=1 \
(b) Bx+C=2x+1 (logo B=2,\\ C=1) \
(c) \displaystyle\int \frac{3x^{2}}{x^{3}-1}\,dx=\ln\lvert x-1\rvert+\ln\lvert x^{2}+x+1\rvert+C

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