Expresse as funçōes racionais como fraçōes parciais
(lembre o termo
)
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede que ela seja expressa como soma de frações parciais. O enunciado lembra que deve haver um termo
. Dados relevantes:
- Denominador é
, ou seja, há um fator linear repetido de multiplicidade e um fator linear simples . - Deve-se encontrar constantes (números)
, , tais que a soma das frações parciais seja igual à função original para todo (exceto nos pontos singulares).
Passo 2
Regra prática para frações parciais com fatores lineares repetidos: se o denominador tem
então aparecem termos
. Aplicando isso ao nosso caso, com
de multiplicidade
e
simples, a forma proposta é
onde
são constantes a determinar. Aqui:
-
corresponde ao termo de primeira potência do fator , -
ao termo de segunda potência do fator , -
ao fator .
Passo 3
Para encontrar
vamos eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por
. Isso dá uma identidade polinomial válida para todos os
(exceto
e
, mas a identidade polinomial se estende por continuidade):
Passo 4
Expandir os termos do lado direito e agrupar por potências de
. Primeiro expandindo:
Somando tudo:
Passo 5
Agora igualamos coeficientes do polinômio à esquerda (que é
Resolver passo a passo:
- Da terceira equação, .
- Da segunda equação,
substituindo dá , logo . - Da primeira equação,
com dá , portanto .
(Observação alternativa rápida: podia-se também usar substituições diretas na identidade antes de expandir — por exemplo, colocando
obtém-se
; colocando
obtém-se
; e então determinar
pela comparação dos coeficientes ou por escolher outro
. Ambos os caminhos dão os mesmos valores.)]
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial obtemos a forma final. É bom conferir rapidamente: recompondo as frações ou avaliando em um valor como
garante consistência. Por exemplo, para
:
confere.