Expresse as funçōes racionais como fraçōes parciais
\frac{1}{x^{2}(x-1)} (lembre o termo \frac{A}{x} )

Passo 1

O enunciado dá a função racional \dfrac{1}{x^{2}(x-1)} e pede que ela seja expressa como soma de frações parciais. O enunciado lembra que deve haver um termo \dfrac{A}{x}. Dados relevantes:
  • Denominador é x^{2}(x-1), ou seja, há um fator linear repetido x de multiplicidade 2 e um fator linear simples (x-1).
  • Deve-se encontrar constantes (números) A, B, C tais que a soma das frações parciais seja igual à função original para todo x (exceto nos pontos singulares).

Passo 2

Regra prática para frações parciais com fatores lineares repetidos: se o denominador tem (x-a)^{m} então aparecem termos \dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_m}{(x-a)^m}. Aplicando isso ao nosso caso, com x de multiplicidade 2 e (x-1) simples, a forma proposta é
\frac{1}{x^{2}(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Aqui:
  • \dfrac{A}{x} corresponde ao termo de primeira potência do fator x,
  • \dfrac{B}{x^{2}} ao termo de segunda potência do fator x,
  • \dfrac{C}{x-1} ao fator (x-1).

Passo 3

Para encontrar A,B,C vamos eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-1). Isso dá uma identidade polinomial válida para todos os x (exceto 0 e 1, mas a identidade polinomial se estende por continuidade):
1 = A\cdot x(x-1) + B\cdot (x-1) + C\cdot x^{2}.

Passo 4

Expandir os termos do lado direito e agrupar por potências de x. Primeiro expandindo:
A\cdot x(x-1)=A x^{2}-A x, \qquad B\cdot (x-1)=B x - B, \qquad C\cdot x^{2}=C x^{2}.
Somando tudo:
1 = (A+C)x^{2} + (-A+B)x + (-B).

Passo 5

Agora igualamos coeficientes do polinômio à esquerda (que é 0x^{2}+0x+1\)) aos coeficientes do polinômio à direita. Isso gera o sistema: \[\begin{cases} A+C = 0,\\[4pt] -A+B = 0,\\[4pt] -B = 1. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da terceira equação, -B=1\] implica \(B=-1.
  • Da segunda equação, -A+B=0 substituindo B=-1 -A-1=0, logo A=-1.
  • Da primeira equação, A+C=0 com A=-1 -1+C=0, portanto C=1.
(Observação alternativa rápida: podia-se também usar substituições diretas na identidade antes de expandir — por exemplo, colocando x=0 obtém-se B=-1; colocando x=1 obtém-se C=1; e então determinar A pela comparação dos coeficientes ou por escolher outro x. Ambos os caminhos dão os mesmos valores.)]

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial obtemos a forma final. É bom conferir rapidamente: recompondo as frações ou avaliando em um valor como x=2 garante consistência. Por exemplo, para x=2:
\text{LHS}=\frac{1}{2^{2}(2-1)}=\frac{1}{4}, \qquad \text{RHS}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{1}=-\frac{2}{4}-\frac{1}{4}+\frac{4}{4}=\frac{1}{4},
confere.

Resposta

-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x-1}

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