Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
\int_{0}^{2} \int_{1}^{e^{y}} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral
\int_{0}^{2}\int_{1}^{e^{y}}f(x,y)\,dx\,dy
invertendo a ordem de integração. O conteúdo envolvido é a descrição da região de integração no plano (x,y) e a aplicação do Teorema de Fubini para trocar as integrais.

Passo 2

Vamos identificar a região
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\;1\le x\le e^{y}\}.
Da condição 1\le x\le e^{y} segue y\ge\ln x. Logo, em D temos simultaneamente
0\le y\le 2 \quad\text{e}\quad y\ge\ln x.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo x. Como y varia de 0 a 2 e x\le e^{y}, o menor x ocorre em y=0 dando x=1 e o maior em y=2 dando x=e^{2}. Assim
1\le x\le e^{2}.
Para um valor fixo de x nessa faixa, y deve satisfazer
\ln x \le y \le 2.

Passo 4

Aplicando Fubini com esses novos limites, obtemos a integral equivalente com ordem invertida:
\int_{1}^{e^{2}}\int_{\ln x}^{2}f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{1}^{e^{2}}\int_{\ln x}^{2}f(x,y)\,dy\,dx.

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