Expresse a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} \int_{0}^{y} f(x, y, z) d z d y d x
como uma integral tripla e, então, reescreva-a como uma integral iterada em uma ordem diferente, integrando primeiro em relação a x, então z, e então y.

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}}\int_{0}^{y}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx
sobre a região em (x,y,z) definida por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x^{2},\quad 0 \le z \le y.
O conteúdo aqui é descrever essa integral como uma integral tripla e depois permutar a ordem de integração para x, depois z, depois y.

Passo 2

Vamos descrever o domínio de integração E como
E = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x^{2},\;0\le z\le y\bigr\}.

Passo 3

Em notação de integral tripla, a integral original é
\iiint_{E}f(x,y,z)\,dV.

Passo 4

Para reescrever na ordem dx\,dz\,dy, fixamos y e z e buscamos os valores de x que ainda satisfazem (x,y,z)\in E.
Como 0\le y\le x^{2}\le1, obtemos
x^{2}\ge y \;\Longrightarrow\; x\ge \sqrt{y},
e também x\le1.
Os limites de z para cada y são 0\le z\le y, e os de y ficam 0\le y\le1.

Passo 5

Portanto, integrando primeiro em x, depois em z e finalmente em y, a integral fica
\int_{y=0}^{1} \int_{z=0}^{y} \int_{x=\sqrt{y}}^{1} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.

Resposta

\iiint_{E}f(x,y,z)\,dV \;=\; \int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\int_{\sqrt{y}}^{1}f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.

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