Pelo teorema de fubini e por essa descrição de E como região do tipo I nos permite calcular a integral,
\iiint_{E} z d V=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E} z\,dV
onde E é o tetraedro definido por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0,\quad x+y+z\le1.
Vamos usar o Teorema de Fubini, integrando na ordem z, depois y e por fim x.

Passo 2

Integramos primeiro em relação a z, com z variando de 0 a 1-x-y:
\int_{0}^{1-x-y} z\,dz =\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x-y} =\frac{(1-x-y)^{2}}{2}.

Passo 3

Agora integramos em y, de 0 a 1-x:
\int_{0}^{1-x}\frac{(1-x-y)^{2}}{2}\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{1-x}(1-x-y)^{2}\,dy.
Fazendo a substituição u=1-x-y, du=-dy, os limites vão de u=1-x a u=0, e obtemos
\frac{1}{2}\int_{0}^{1-x}u^{2}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-x)^{3}}{3} =\frac{(1-x)^{3}}{6}.

Passo 4

Por fim, integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^{3}}{6}\,dx =\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{3}\,dx =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{24},
pois \int_{0}^{1}(1-x)^{3}\,dx=1/4.

Resposta

\iiint_{E} z\,dV = \frac{1}{24}.

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