Sabendo-se que \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+a}-b}{x-2}=\frac{1}{4} e que a e b são positivos, é correto afirmar que:
i. \frac{b}{a}=\frac{1}{3}
ii. \frac{b}{a}=\frac{2}{3}
iii. \frac{b}{a}=1
iv. \frac{b}{a}=\frac{1}{2}

Passo 1

Resumindo, queremos avaliar
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + a} - b}{x - 2} = \frac{1}{4},
sabendo que a>0 e b>0. O tipo de limite é \tfrac{0}{0}, e podemos resolvê-lo por racionalização do numerador.

Passo 2

Para ficar na forma \tfrac{0}{0}, o numerador deve anular em x=2. Logo,
\sqrt{2 + a} - b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = \sqrt{2 + a}.

Passo 3

Racionalizamos o numerador:
\frac{\sqrt{x + a} - b}{x - 2} = \frac{(\sqrt{x + a} - b)(\sqrt{x + a} + b)}{(x - 2)(\sqrt{x + a} + b)} = \frac{x + a - b^2}{(x - 2)(\sqrt{x + a} + b)}.
Como b^2 = 2 + a, o numerador vira x - 2. Assim,
\frac{\sqrt{x + a} - b}{x - 2} = \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x + a} + b)} = \frac{1}{\sqrt{x + a} + b}.

Passo 4

Fazendo x\to2,
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + a} - b}{x - 2} = \frac{1}{\sqrt{2 + a} + b} = \frac{1}{b + b} = \frac{1}{2b}.
Igualando a \tfrac{1}{4}:
\frac{1}{2b} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad b = 2.

Passo 5

Como b = \sqrt{2 + a}=2, temos
2 = \sqrt{2 + a} \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
Logo
\frac{b}{a} = \frac{2}{2} = 1.

Resposta

A única opção correta é a iii.

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