(2) Expresse os limites seguintes como uma integral definida no intervalo dado:
(a)
(b)
.
(3) Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas:
(a)
(b)
.
(4) Dado que
, calcule
e
.
(a)
(b)
(3) Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas:
(a)
(b)
(4) Dado que
Passo 1
O enunciado pede quatro tarefas principais. Em (2) devemos reconhecer somas de Riemann e escrever cada limite como uma integral definida nos intervalos indicados; em (3) calcular duas integrais usando interpretação geométrica de áreas; e em (4) usar o valor dado de
para encontrar
e
. Vamos usar a definição de soma de Riemann, a interpretação de área sob curvas e as propriedades das integrais definidas.
Passo 2
Para a parte (2a), note que
e a soma
é a soma de Riemann de
em
. Portanto,
Passo 3
Para a parte (2b), temos
e a soma
é a soma de Riemann de
em
. Assim,
Passo 4
Para (3a),
é a área de um quarto de círculo de raio
. Logo,
Passo 5
Para (3b), podemos usar a primitiva de
, que é
Avaliando de
a
,
Passo 6
Em (4) já sabemos que
Como a letra da variável de integração não altera o valor,
E invertendo os limites de integração inverte-se o sinal, logo
Resposta
(2a)
(2b)
(3a)
(3b)
(4a)
(4b)
(2b)
(3a)
(3b)
(4a)
(4b)