(2) Expresse os limites seguintes como uma integral definida no intervalo dado:
(a) \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{3}+x_{i} \operatorname{sen}\left(x_{i}\right)\right) \Delta x, \quad[0, \pi]
(b) \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{x_{i}^{*}} \Delta x, \quad[1,4].
(3) Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas:
(a) \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x
(b) \int_{0}^{3}(x-1) d x.
(4) Dado que \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x=\frac{38}{3}, calcule \int_{4}^{9} \sqrt{y} d y e \int_{9}^{4} \sqrt{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede quatro tarefas principais. Em (2) devemos reconhecer somas de Riemann e escrever cada limite como uma integral definida nos intervalos indicados; em (3) calcular duas integrais usando interpretação geométrica de áreas; e em (4) usar o valor dado de
\int_{4}^{9}\sqrt{x}\,dx=\tfrac{38}{3}
para encontrar \displaystyle\int_{4}^{9}\sqrt{y}\,dy e \displaystyle\int_{9}^{4}\sqrt{x}\,dx. Vamos usar a definição de soma de Riemann, a interpretação de área sob curvas e as propriedades das integrais definidas.

Passo 2

Para a parte (2a), note que
\Delta x = \frac{\pi-0}{n},\quad x_i = 0 + i\,\Delta x,
e a soma
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i^3 + x_i\sin(x_i)\bigr)\,\Delta x
é a soma de Riemann de f(x)=x^3+x\sin(x) em [0,\pi]. Portanto,
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i^3 + x_i\sin(x_i)\bigr)\,\Delta x =\int_{0}^{\pi}\bigl(x^3 + x\sin(x)\bigr)\,dx.

Passo 3

Para a parte (2b), temos
\Delta x = \frac{4-1}{n},\quad x_i^*\in[1,4],
e a soma
\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_i^*}\,\Delta x
é a soma de Riemann de g(x)=\sqrt{x} em [1,4]. Assim,
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_i^*}\,\Delta x =\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx.

Passo 4

Para (3a),
\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx
é a área de um quarto de círculo de raio 1. Logo,
\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{\pi\cdot1^2}{4} =\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Para (3b), podemos usar a primitiva de h(x)=x-1, que é
H(x)=\frac{x^2}{2}-x.
Avaliando de 0 a 3,
\int_{0}^{3}(x-1)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-x\Bigr]_{0}^{3} =\Bigl(\tfrac{9}{2}-3\Bigr)-0 =\frac{9-6}{2} =\frac{3}{2}.

Passo 6

Em (4) já sabemos que
\int_{4}^{9}\sqrt{x}\,dx=\frac{38}{3}.
Como a letra da variável de integração não altera o valor,
\int_{4}^{9}\sqrt{y}\,dy=\frac{38}{3}.
E invertendo os limites de integração inverte-se o sinal, logo
\int_{9}^{4}\sqrt{x}\,dx =-\int_{4}^{9}\sqrt{x}\,dx =-\frac{38}{3}.

Resposta

(2a) \displaystyle\int_{0}^{\pi}\bigl(x^3 + x\sin x\bigr)\,dx
(2b) \displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx
(3a) \displaystyle\frac{\pi}{4}
(3b) \displaystyle\frac{3}{2}
(4a) \displaystyle\frac{38}{3}
(4b) \displaystyle -\frac{38}{3}

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