Estime o valor dos seguintes números:
ln (1,07)

Passo 1

O enunciado pede estimar \ln(1,07). O conteúdo é aproximação de logaritmo natural usando a série de Taylor (ou expansão em série de potências) em torno de x=0. Vamos usar a fórmula de expansão de \ln(1+x) e calcular termos até a ordem 4 para ter boa precisão.

Passo 2

A série de Taylor para \ln(1+x), válida para |x|<1, é:
\ln(1+x)=x \;-\;\frac{x^2}{2}\;+\;\frac{x^3}{3}\;-\;\frac{x^4}{4}\;+\;\cdots
Aqui tomamos x=0,07.

Passo 3

Calculamos os primeiros poderes de x:
x = 0,07,\quad x^2 = (0,07)^2 = 0,0049,
x^3 = (0,07)\times 0,0049 = 0,000343,\quad x^4 = (0,07)\times 0,000343 = 0,00002401.

Passo 4

Substituindo na expansão e somando até o quarto termo:
\ln(1,07)\approx 0,07 \;-\;\frac{0,0049}{2}\;+\;\frac{0,000343}{3}\;-\;\frac{0,00002401}{4}.
Calculando cada fração:
\frac{0,0049}{2}=0,00245,\quad \frac{0,000343}{3}\approx0,0001143,\quad \frac{0,00002401}{4}\approx0,0000060.
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\ln(1,07)\approx 0,07 - 0,00245 + 0,0001143 - 0,0000060 = 0,0676583.

Passo 5

O próximo termo seria \frac{x^5}{5}\approx\frac{0,00000168}{5}=0,000000336, então o erro ao parar no quarto termo é menor que 4\times10^{-7}. Portanto, já temos precisão de cerca de 10^{-6}.

Resposta

\ln(1,07)\approx 0,06766

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