a. Expresse matematicamente a condição de equilíbrio do consumidor tal como dada pela abordagem da curva de indiferença
b. Mostre que , se existe uma medida cardinal de utilidade, a condição de (a) se reduz a
b. Mostre que , se existe uma medida cardinal de utilidade, a condição de (a) se reduz a
Passo 1
Vamos lá! O exercício tem duas partes e está relacionado com a teoria do equilíbrio do consumidor usando a abordagem da curva de indiferença. Precisamos:
a. Expressar matematicamente a condição de equilíbrio do consumidor conforme a curva de indiferença.
b. Demonstrar que, se existe uma medida cardinal de utilidade, a condição do item a se reduz às duas equações fornecidas.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos como curvas de indiferença, utilidade marginal, e restrição orçamentária.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a condição de equilíbrio do consumidor na abordagem da curva de indiferença. O consumidor está no equilíbrio quando está maximizando sua utilidade dado seu orçamento.
Isso significa que a taxa marginal de substituição (TMS) entre dois bens é igual à razão de seus preços. A TMS mede quanto de um bem o consumidor está disposto a trocar por outro mantendo o mesmo nível de utilidade.
Passo 3
Matematicamente, a TMS entre os bens $ x $ e $ y $ é dada por:
Onde $ MU_x $ e $ MU_y $ são as utilidades marginais dos bens $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 4
A restrição orçamentária do consumidor é:
Onde:
- $ P_x $ e $ P_y $ são os preços dos bens $ x $ e $ y $.
- $ Q_x $ e $ Q_y $ são as quantidades consumidas dos bens $ x $ e $ y $.
- $ R $ é a renda do consumidor.
Passo 5
No equilíbrio, a TMS deve ser igual à razão dos preços dos bens. Portanto:
Essa é a condição de equilíbrio do consumidor na abordagem da curva de indiferença.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b. Se existe uma medida cardinal de utilidade, podemos representar a utilidade total como uma função $ U(Q_x, Q_y) $.
A utilidade marginal $ MU_x $ é a derivada parcial de $ U $ em relação a $ Q_x $:
E similarmente para $ MU_y $:
Passo 7
Substituindo $ MU_x $ e $ MU_y $ na condição de equilíbrio, temos:
Multiplicando ambos os lados por $ P_y $ para isolar as utilidades marginais:
Passo 8
Agora, dividindo ambos os lados por $ P_x P_y $, obtemos:
Assumindo que $ \frac{\partial U}{\partial Q_x} = U M_x $ e $ \frac{\partial U}{\partial Q_y} = U M_y $:
Além disso, a restrição orçamentária permanece:
Resposta
a. A condição de equilíbrio do consumidor pela abordagem da curva de indiferença é:
b. Se existe uma medida cardinal de utilidade, a condição de equilíbrio se reduz a: