a. Expresse matematicamente a condição de equilíbrio do consumidor tal como dada pela abordagem da curva de indiferença
b. Mostre que , se existe uma medida cardinal de utilidade, a condição de (a) se reduz a
U M xP x=U M yP y Px Qx+Py Qy=R

Passo 1

Vamos lá! O exercício tem duas partes e está relacionado com a teoria do equilíbrio do consumidor usando a abordagem da curva de indiferença. Precisamos:
a. Expressar matematicamente a condição de equilíbrio do consumidor conforme a curva de indiferença.
b. Demonstrar que, se existe uma medida cardinal de utilidade, a condição do item a se reduz às duas equações fornecidas.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos como curvas de indiferença, utilidade marginal, e restrição orçamentária.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a condição de equilíbrio do consumidor na abordagem da curva de indiferença. O consumidor está no equilíbrio quando está maximizando sua utilidade dado seu orçamento.
Isso significa que a taxa marginal de substituição (TMS) entre dois bens é igual à razão de seus preços. A TMS mede quanto de um bem o consumidor está disposto a trocar por outro mantendo o mesmo nível de utilidade.

Passo 3

Matematicamente, a TMS entre os bens $ x $ e $ y $ é dada por:
x
Onde $ MU_x $ e $ MU_y $ são as utilidades marginais dos bens $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 4

A restrição orçamentária do consumidor é:
Px Qx + Py Qy = R
Onde:
  • $ P_x $ e $ P_y $ são os preços dos bens $ x $ e $ y $.
  • $ Q_x $ e $ Q_y $ são as quantidades consumidas dos bens $ x $ e $ y $.
  • $ R $ é a renda do consumidor.

Passo 5

No equilíbrio, a TMS deve ser igual à razão dos preços dos bens. Portanto:
MUxMUy = PxPy
Essa é a condição de equilíbrio do consumidor na abordagem da curva de indiferença.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b. Se existe uma medida cardinal de utilidade, podemos representar a utilidade total como uma função $ U(Q_x, Q_y) $.
A utilidade marginal $ MU_x $ é a derivada parcial de $ U $ em relação a $ Q_x $:
U(Qx, Qy)
E similarmente para $ MU_y $:
MUx

Passo 7

Substituindo $ MU_x $ e $ MU_y $ na condição de equilíbrio, temos:
MUx
Multiplicando ambos os lados por $ P_y $ para isolar as utilidades marginais:
MUy

Passo 8

Agora, dividindo ambos os lados por $ P_x P_y $, obtemos:
Px Py
Assumindo que $ \frac{\partial U}{\partial Q_x} = U M_x $ e $ \frac{\partial U}{\partial Q_y} = U M_y $:
partial Upartial QxPx = partial Upartial QyPy
Além disso, a restrição orçamentária permanece:
partial Upartial Qx = U Mx

Resposta

a. A condição de equilíbrio do consumidor pela abordagem da curva de indiferença é:
MUxMUy = PxPy
b. Se existe uma medida cardinal de utilidade, a condição de equilíbrio se reduz a:
U MxPx = U MyPy Px Qx + Py Qy = R

Exercícios relacionados