a. U=Q1 Q2, quando p1=1, p2=4 e a pessoa tem um orçamento de m=120
b. U=Q1 Q2, quando p1=20, p2=2 e a pessoa tem um orçamento de m=240
c. U=Q1 Q2+Q1+2 Q2, quando p1=2, p2=5 e a pessoa tem um orçamento de m=51
d. u=x y+3 x+y, quando px=8, py=12 e a pessoa tem um orçamento de m=212

Passo 1

A questão é de teoria do consumidor: em cada item queremos maximizar uma utilidade sujeita à restrição orçamentária. Para as utilidades do tipo Cobb-Douglas igualitárias (,U=Q₁Q₂), cada bem consome metade do orçamento. Quando a utilidade não é puramente Cobb-Douglas, usamos as utilidades marginais e igualamos a MRS (taxa marginal de substituição) à razão dos preços. Vamos resolver item a, b, c e d seguindo esses métodos.

Passo 2

Para o item a: temos U=Q1Q2, preços p1=1, p2=4 e orçamento m=120. Em Cobb-Douglas com expoentes iguais, cada bem fica com metade do orçamento. Então
p1Q1 = m2 Rightarrow Q1 = 1202cdot 1 = 60,
p2Q2 = m2 Rightarrow Q2 = 1202cdot 4 = 15

Passo 3

Para o item b: também U=Q1Q2, agora p1=20, p2=2 e m=240. De novo cada bem fica com metade do orçamento:
Q1 = 2402cdot 20 = 6,
Q2 = 2402cdot 2 = 60

Passo 4

Para o item c: U=Q1Q2 + Q1 + 2Q2, p1=2, p2=5, m=51. Primeiro as utilidades marginais:
MU1 = partial Upartial Q1 = Q2 + 1,
MU2 = partial Upartial Q2 = Q1 + 2
Igualamos a MRS (MU1/MU2) à razão dos preços (p1/p2=2/5):
Q2+1Q1+2 = 25,
e mantemos a restrição orçamentária:
2Q1 + 5Q2 = 51
Da primeira equação vem 5(Q2+1) = 2(Q1+2), isto é Q1 = tfrac5Q2+12. Substituindo no orçamento:
2l(5Q2+12r) + 5Q2 = 51 Rightarrow 10Q2 + 1 = 51 Rightarrow Q2=5
Q1 = (5cdot5 +1)/2 = 13

Passo 5

Para o item d: U = xy + 3x + y, px=8, py=12, m=212. Calculamos as utilidades marginais:
MUx = y + 3,
MUy = x + 1
Igualamos a MRS à razão dos preços (8/12=2/3):
y+3x+1 = 23,
e usamos a restrição
8x + 12y = 212
Da MRS vem 3(y+3)=2(x+1) x = tfrac3y+72. Substituindo no orçamento:
8l(3y+72r) + 12y = 212 Rightarrow 24y +28 +12y = 212 Rightarrow 36y = 184 Rightarrow y=233
Então x = (3cdottfrac233 +7)/2 =15

Resposta

a) Q1=60, Q2=15
b) Q1=6, Q2=60
c) Q1=13, Q2=5
d) x=15, y=tfrac233

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