Expresse os números complexos abaixo na forma
: ( 2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para expressar o número complexo dado na forma
. O que temos de informação é apenas o número complexo em forma de fração:
A pergunta que vou responder: transformar essa expressão em uma soma da parte real
e da parte imaginária
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que farei): para dividir dois números complexos como
é comum multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo
, é
. Isso serve para “eliminar” a parte imaginária do denominador porque
que é um número real. Aqui, o denominador é
, então o conjugado é
. Vou multiplicar numerador e denominador por
.
Passo 3
Multiplico numerador e denominador por
:
Agora vou calcular separadamente o numerador e o denominador.
Passo 4
Calculo do numerador
. Faço a expansão termo a termo (distributiva):
Agora calculo cada produto:
Passo 5
Lembro que
. Então
. Somando as partes reais e imaginárias do numerador:
Portanto o numerador simplificado é
Passo 6
Calculo do denominador
. Posso usar a identidade
com
e
, ou expandir:
Como
, temos
. Portanto o denominador é
.
Passo 7
Agora divido a parte real e a parte imaginária pelo denominador:
Simplifico as frações reduzindo pelos seus fatores comuns:
e
. Portanto a expressão fica
Passo 8
Interpretação final: escrevendo no formato
, a parte real é
e a parte imaginária é
. Tudo feito sem calculadora e com passos bem organizados — você manda bem, continua assim!