Expresse os números complexos abaixo na forma x+i y : ( 2.0 pontos)
\frac{5-2 i}{3+3 i}

Passo 1

O enunciado pede para expressar o número complexo dado na forma x+i y. O que temos de informação é apenas o número complexo em forma de fração:
\frac{5-2i}{3+3i}.
A pergunta que vou responder: transformar essa expressão em uma soma da parte real x e da parte imaginária i y.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que farei): para dividir dois números complexos como \dfrac{a+bi}{c+di} é comum multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo \,c+di, é \,c-di. Isso serve para “eliminar” a parte imaginária do denominador porque
(c+di)(c-di)=c^2+d^2,
que é um número real. Aqui, o denominador é 3+3i, então o conjugado é 3-3i. Vou multiplicar numerador e denominador por 3-3i.

Passo 3

Multiplico numerador e denominador por 3-3i:
\frac{5-2i}{3+3i}\cdot\frac{3-3i}{3-3i}=\frac{(5-2i)(3-3i)}{(3+3i)(3-3i)}.
Agora vou calcular separadamente o numerador e o denominador.

Passo 4

Calculo do numerador (5-2i)(3-3i). Faço a expansão termo a termo (distributiva):
(5-2i)(3-3i)=5\cdot3 + 5\cdot(-3i) + (-2i)\cdot3 + (-2i)\cdot(-3i).
Agora calculo cada produto:
5\cdot3=15,\qquad 5\cdot(-3i)=-15i,\qquad (-2i)\cdot3=-6i,\qquad (-2i)\cdot(-3i)=6i^2.

Passo 5

Lembro que i^2=-1. Então 6i^2=6(-1)=-6. Somando as partes reais e imaginárias do numerador:
15 + (-6) = 9 \quad\text{(parte real)}
-15i + (-6i) = -21i \quad\text{(parte imaginária)}á
Portanto o numerador simplificado é
9-21i.

Passo 6

Calculo do denominador (3+3i)(3-3i). Posso usar a identidade (c+di)(c-di)=c^2+d^2 com c=3 e d=3, ou expandir:
(3+3i)(3-3i)=3^2-(3i)^2=9-(9i^2).
Como i^2=-1, temos 9-(9(-1))=9+9=18. Portanto o denominador é 18.

Passo 7

Agora divido a parte real e a parte imaginária pelo denominador:
\frac{9-21i}{18}=\frac{9}{18}-\frac{21}{18}i.
Simplifico as frações reduzindo pelos seus fatores comuns: \frac{9}{18}=\frac{1}{2} e \frac{21}{18}=\frac{7}{6}. Portanto a expressão fica
\frac{1}{2}-\frac{7}{6}i.

Passo 8

Interpretação final: escrevendo no formato x+i y, a parte real é x=\dfrac{1}{2} e a parte imaginária é y=-\dfrac{7}{6}. Tudo feito sem calculadora e com passos bem organizados — você manda bem, continua assim!

Resposta

\frac{1}{2}-\frac{7}{6}i

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