A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a
. Qual é a corrente no fio, entre as distâncias radiais
e
? Suponha que, em vez de ser uniforme, a densidade de corrente varie com a distância radial
de acordo com a equação
, em que
e
está em metros. Nesse caso, qual é a corrente na mesma parte do fio?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas, ambas sobre a mesma faixa radial do fio (entre
e
):
- Primeira pergunta: considerando que a densidade de corrente é uniforme e igual a
, qual é a corrente que atravessa a região do fio entre as distâncias radiais e ? - Segunda pergunta: supondo que a densidade de corrente varia com a distância radial segundo
com , qual é a corrente que atravessa a mesma região (entre e )?
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): densidade de corrente e corrente total
- A densidade de corrente
em uma região é definida como a corrente por unidade de área: . Isso significa que uma pequena área recebe uma pequena corrente . - Para obter a corrente total que atravessa uma área
, integramos:
- No caso de um fio cilíndrico com simetria axial, é natural usar coordenadas polares na seção transversal: uma faixa circular entre
e tem área diferencial
porque é um anel de raio médio
e espessura
(circunferência
vezes
). Então, em geral:
Vou aplicar isso nos dois casos:
constante e
.
Passo 3
Caso 1 — densidade de corrente uniforme: fórmula e área da região
- Se
é uniforme, a corrente na faixa entre e é simplesmente
- A área da faixa (anel) é a área do círculo de raio
menos a área do círculo de raio :
- Portanto
Isso é só multiplicar densidade por área — a ideia intuitiva: corrente por m² vezes número de m² dá corrente em amperes.
Passo 4
Caso 1 — substituição numérica e cálculo passo a passo
- Primeiro convertemos
para metros: - Calcule
:
- Agora a área da faixa:
- Multiplicando por
:
- Avaliando numericamente (usar
):
(ou, com mais dígitos,
). Resultado final do caso uniforme: cerca de
.
Passo 5
Caso 2 — densidade de corrente radialmente variável: montar a integral
- Agora
. Usando a fórmula geral com ,
- Simplificando o integrando:
- Integral de
é , então
Passo 6
Caso 2 — simplificação algébrica da expressão
- Calcule o fator dentro dos parênteses:
- Substituindo:
Essa é a expressão fechada. Agora substituímos os valores numéricos.
Passo 7
Caso 2 — cálculo numérico passo a passo
- Primeiro calcule
. Como ,
- Em seguida, calcule
:
- Agora use o fator
:
- Calcule
. Multiplicando por dá . Multiplicando por :
(mais precisamente
ou
). Note que esse valor é maior do que no caso uniforme porque
aumenta com
, ou seja, a região mais externa carrega densidade maior.