A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R=2,0 \mathrm{~mm} é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a 2,0 \times 10^{5} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Qual é a corrente no fio, entre as distâncias radiais R / 2 e R ? Suponha que, em vez de ser uniforme, a densidade de corrente varie com a distância radial r de acordo com a equação J=a r^{2}, em que a =3,0 \times 10^{11} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{4} e r está em metros. Nesse caso, qual é a corrente na mesma parte do fio?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas, ambas sobre a mesma faixa radial do fio (entre R/2 e R):
  • Primeira pergunta: considerando que a densidade de corrente é uniforme e igual a \,J=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}, qual é a corrente que atravessa a região do fio entre as distâncias radiais \,R/2 e \,R?
  • Segunda pergunta: supondo que a densidade de corrente varia com a distância radial segundo \,J(r)=a\,r^{2} com a=3{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{A/m^{4}}, qual é a corrente que atravessa a mesma região (entre \,R/2 e \,R)?
Informações dadas que vamos usar:
R=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
J_{\text{uniforme}}=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}},
J(r)=a\,r^{2}\quad\text{com}\quad a=3{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{A/m^{4}}.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): densidade de corrente e corrente total
  • A densidade de corrente \,J em uma região é definida como a corrente por unidade de área: \,J=\dfrac{dI}{dA}. Isso significa que uma pequena área dA recebe uma pequena corrente dI=J\,dA.
  • Para obter a corrente total que atravessa uma área A, integramos:
I=\int_{A} J\,dA.
  • No caso de um fio cilíndrico com simetria axial, é natural usar coordenadas polares na seção transversal: uma faixa circular entre r e r+dr tem área diferencial
dA = 2\pi r\,dr,
porque é um anel de raio médio r e espessura dr (circunferência 2\pi r vezes dr). Então, em geral:
I=\int_{r_1}^{r_2} J(r)\,2\pi r\,dr.
Vou aplicar isso nos dois casos: J constante e J(r)=a r^{2}.

Passo 3

Caso 1 — densidade de corrente uniforme: fórmula e área da região
  • Se \,J é uniforme, a corrente na faixa entre \,R/2 e \,R é simplesmente
I = J \times (\text{área da faixa}).á
  • A área da faixa (anel) é a área do círculo de raio R menos a área do círculo de raio R/2:
A = \pi R^{2} - \pi\left(\frac{R}{2}\right)^{2} = \pi R^{2}\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}\pi R^{2}.
  • Portanto
I = J\cdot \frac{3}{4}\pi R^{2}.
Isso é só multiplicar densidade por área — a ideia intuitiva: corrente por m² vezes número de m² dá corrente em amperes.

Passo 4

Caso 1 — substituição numérica e cálculo passo a passo
  • Primeiro convertemos R para metros: \,R=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Calcule R^{2}:
R^{2}=(2{,}0\times10^{-3})^{2}=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora a área da faixa:
A=\frac{3}{4}\pi R^{2}=\frac{3}{4}\pi(4{,}0\times10^{-6})=3\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Multiplicando por J:
I = J\cdot A = (2{,}0\times10^{5})(3\pi\times10^{-6})=6\pi\times10^{-1}\\ \mathrm{A}.
  • Avaliando numericamente (usar \pi\approx3{,}14159):
I\approx 0{,}6\pi\\ \mathrm{A}\approx 1{,}88\\ \mathrm{A}.
(ou, com mais dígitos, I\approx1{,}885\\ \mathrm{A}). Resultado final do caso uniforme: cerca de 1{,}88\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Caso 2 — densidade de corrente radialmente variável: montar a integral
  • Agora J(r)=a\,r^{2}. Usando a fórmula geral com dA=2\pi r\,dr,
I=\int_{R/2}^{R} J(r)\,2\pi r\,dr = \int_{R/2}^{R} \big(a r^{2}\big)\,2\pi r\,dr.
  • Simplificando o integrando:
I=2\pi a\int_{R/2}^{R} r^{3}\,dr.
  • Integral de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}, então
I=2\pi a\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{R/2}^{R} = \frac{\pi a}{2}\left(R^{4}-\left(\frac{R}{2}\right)^{4}\right).

Passo 6

Caso 2 — simplificação algébrica da expressão
  • Calcule o fator dentro dos parênteses:
R^{4}-\left(\frac{R}{2}\right)^{4}=R^{4}\left(1-\frac{1}{16}\right)=R^{4}\cdot\frac{15}{16}.
  • Substituindo:
I=\frac{\pi a}{2}\cdot R^{4}\cdot\frac{15}{16}=\frac{15\pi a R^{4}}{32}.
Essa é a expressão fechada. Agora substituímos os valores numéricos.

Passo 7

Caso 2 — cálculo numérico passo a passo
  • Primeiro calcule R^{4}. Como R=2{,}0\times10^{-3},
R^{2}=4{,}0\times10^{-6}\\ \text{(já calculado)},á
R^{4}=(R^{2})^{2}=(4{,}0\times10^{-6})^{2}=16{,}0\times10^{-12}=1{,}6\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Em seguida, calcule aR^{4}:
aR^{4}=(3{,}0\times10^{11})(1{,}6\times10^{-11})=4{,}8\\ \text{(adimensional, em A)}.
  • Agora use o fator \dfrac{15\pi}{32}:
I = \frac{15\pi}{32}\times 4{,}8.
  • Calcule \dfrac{15}{32}=0{,}46875. Multiplicando por 4{,}8 2{,}25. Multiplicando por \pi:
I \approx 2{,}25\pi\\ \mathrm{A}\approx 7{,}07\\ \mathrm{A}.
(mais precisamente I\approx7{,}07\\ \mathrm{A} ou 7{,}069\\ \mathrm{A}). Note que esse valor é maior do que no caso uniforme porque J(r)=a r^{2} aumenta com r, ou seja, a região mais externa carrega densidade maior.

Resposta

I_{\text{uniforme}}=1{,}88\\ \mathrm{A}
I_{J(r)=a r^{2}}=7{,}07\\ \mathrm{A}

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