Question 1 Em uma rodovia de mão dupla, um carro encontra-se a uma distância d atrás de um caminhão, ambos trafegando à uma velocidade constante v_{1}. O motorista decide ultrapassar o caminhão acelerando com uma aceleração constante a, mas a pista dupla só se estende por mais uma distância D.
a) Determine a trajetória do motorista e do caminhão.
b) Quanto tempo leva para o motorista ultrapassar o caminhão?
c) Determine qual deve ser a aceleração mínima do carro para que ele consiga ultrapassar o caminhão antes que a pista acabe.
d) Se a velocidade do caminhão é v_{1}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a distância inicial entre o carro e o caminhão é d=10 \mathrm{~m}, a aceleração máxima do carro é a=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e D=30 \mathrm{~m}, o carro conseguirá ultrapassar o caminhão antes que a pista dupla acabe?
Despreze o tamanho do carro e do caminhão.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (a–d). Vou listar precisamente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade constante do caminhão: \,v_{1}\,.
    • Distância inicial do carro atrás do caminhão: \,d\, (ou seja, o carro está a uma distância \,d\, atrás do caminhão no instante em que começa a manobra).
    • O carro inicia a ultrapassagem em t=0 com velocidade inicial igual a \,v_{1}\, e acelera com aceleração constante \,a\,.
    • A pista dupla (trecho seguro para ultrapassagem) tem comprimento \,D\, a partir do ponto onde o carro começa a manobra.
    • Desprezam-se os tamanhos do carro e do caminhão.
  • O que o enunciado pergunta:
    a) Determinar as trajetórias (equações da posição em função do tempo) do motorista (carro) e do caminhão.
    b) Determinar o tempo que leva para o carro ultrapassar o caminhão (isto é, o instante em que suas posições se igualam, já que os comprimentos são desprezados).
    c) Determinar a aceleração mínima \,a_{\min}\, que permite ao carro completar a ultrapassagem antes da pista dupla acabar (isto é, antes de percorrer distância \,D\, desde o início da manobra).
    d) Com \,v_{1}=10\\ \mathrm{m/s}, \,d=10\\ \mathrm{m}, \,a=3\\ \mathrm{m/s^{2}} e \,D=30\\ \mathrm{m}: o carro consegue ultrapassar antes do fim da pista dupla? (responder sim/não e justificar com cálculo).

Passo 2

Definição do referencial e fórmulas de cinemática (aulas rápidas necessárias). Vou adotar um eixo x unidimensional orientado no sentido do movimento. Coloco o caminhão inicialmente em x_{T}(0)=0 e o carro em x_{C}(0)=-d (isto satisfaz “o carro está a uma distância \,d\, atrás do caminhão”).
Fórmulas úteis (movimento retilíneo com velocidade/ aceleração constantes):
  • Se um corpo se move com velocidade constante \,v, sua posição é x(t)=x(0)+v\,t,onde \,x(0)\, é a posição inicial e \,t\, o tempo.
  • Se um corpo tem velocidade inicial \,v_{0}\, e aceleração constante \,a, sua posição é x(t)=x(0)+v_{0}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}.Aqui \,v_{0}\, é a velocidade no instante t=0 e \,a é a aceleração constante.
Usando essas fórmulas para nosso problema:
  • Caminhão: velocidade constante \,v_{1}\,, posição inicial 0. Logo x_{T}(t)=0+v_{1}\,t = v_{1}\,t.
  • Carro: velocidade inicial \,v_{1}\, (mesma do caminhão no instante t=0), posição inicial -d, aceleração \,a. Logo x_{C}(t)=-d+v_{1}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}.
Isto responde a letra (a): as trajetórias são as equações acima.

Passo 3

Determinar o tempo de ultrapassagem (letra b). Definição prática: como desprezamos os comprimentos, consideramos que o carro ultrapassou o caminhão no instante t em que suas posições coincidirem, isto é, quando x_{C}(t)=x_{T}(t).
Escrevemos a igualdade:
-d+v_{1}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2} = v_{1}\,t.
Note que os termos v_{1}\,t aparecem em ambos os lados e se cancelam, porque ambos começaram com a mesma velocidade; isso é intuitivo: a ultrapassagem depende do ganho adicional de posição proporcionado pela aceleração, não do valor absoluto de v_{1}.
Ao cancelar v_{1}\,t obtemos:
-d+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}=0.
Isolando t:
\tfrac{1}{2}a\,t^{2}=d \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{2d}{a} \quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2d}{a}}.
(Escolhemos a raiz positiva porque tempo é não-negativo.)
Comentário didático: é importante observar que este tempo não depende de \,v_{1}\,; isso ocorre porque o carro e o caminhão partem com a mesma velocidade inicial, assim a componente de posição que cresce linearmente com \,v_{1}\, é a mesma para os dois e não afeta o instante de encontro. O que importa é a distância inicial \,d\, e a aceleração \,a\, que permite ao carro “fechar” essa distância.

Passo 4

Condição para completar a ultrapassagem antes de o fim da pista dupla (letra c). Interpretação: a partir do ponto onde o carro começa a ultrapassar (instante t=0), a pista dupla tem comprimento \,D\,; o carro não pode avançar mais do que \,D\, enquanto realiza a ultrapassagem. Como definimos x_{C}(0)=-d, o deslocamento do carro desde t=0 até o instante da ultrapassagem t_{o} é
\Delta x_{C} = x_{C}(t_{o}) - x_{C}(0).
Mas x_{C}(t_{o})=-d+v_{1}\,t_{o}+\tfrac{1}{2}a\,t_{o}^{2} e x_{C}(0)=-d, então
\Delta x_{C} = v_{1}\,t_{o}+\tfrac{1}{2}a\,t_{o}^{2}.
Para que a ultrapassagem ocorra antes do fim da pista dupla precisamos de
v_{1}\,t_{o}+\tfrac{1}{2}a\,t_{o}^{2} \le D.
Substituímos o tempo de ultrapassagem t_{o}=\sqrt{\dfrac{2d}{a}} (obtido no passo anterior):
v_{1}\sqrt{\frac{2d}{a}}+\tfrac{1}{2}a\left(\frac{2d}{a}\right) \le D.
Simplificando o segundo termo:
v_{1}\sqrt{\frac{2d}{a}} + d \le D.
Isolando o termo com a raiz:
v_{1}\sqrt{\frac{2d}{a}} \le D-d.
Supondo que D>d (se D\le d a ultrapassagem é impossível porque mesmo sem velocidade do caminhão já se estaria fora da pista dupla), podemos dividir por v_{1}>0 e por D-d>0, e seguir:
\sqrt{\frac{2d}{a}} \le \frac{D-d}{v_{1}}.
Agora elevamos ao quadrado (ambos os lados são não-negativos), obtendo
\frac{2d}{a} \le \frac{(D-d)^{2}}{v_{1}^{2}}.
Invertemos e isolamos a:
a \ge \frac{2d\,v_{1}^{2}}{(D-d)^{2}}.
Portanto a aceleração mínima necessária para garantir que a ultrapassagem termine antes do fim da pista dupla é
a_{\min}=\frac{2d\,v_{1}^{2}}{(D-d)^{2}}.
Comentário didático: a desigualdade apareceu porque queremos que o deslocamento do carro até o instante de ultrapassagem seja menor ou igual a D. Note também que se D se aproxima de d (pista curta), o denominador (D-d)^{2} fica pequeno e a_{\min} cresce muito: com pouca pista extra, precisamos de grande aceleração.

Passo 5

Aplicação numérica (letra d). Dados numéricos: \,v_{1}=10\\ \mathrm{m/s}, \,d=10\\ \mathrm{m}, \,a=3\\ \mathrm{m/s^{2}}, \,D=30\\ \mathrm{m}.
  1. Tempo necessário para ultrapassar:
t=\sqrt{\frac{2d}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 10}{3}}=\sqrt{\frac{20}{3}}\\ \mathrm{s}\approx 2,582\\ \mathrm{s}.
  1. Deslocamento do carro até esse instante:
\Delta x_{C}=v_{1}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}=10\cdot 2,582 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot (2,582)^{2}.
Mas mais simples: já vimos que \tfrac{1}{2}a\,t^{2}=d=10\\ \mathrm{m}. Então
\Delta x_{C}=d+v_{1}\,t = 10 + 10\cdot 2,582 \approx 10 + 25,819 = 35,819\\ \mathrm{m}.
Isto é maior que D=30\\ \mathrm{m}, logo com \,a=3\\ \mathrm{m/s^{2}} o carro não consegue completar a ultrapassagem antes do fim da pista dupla.
  1. Para comparar, calculemos a_{\min} usando a fórmula do passo 4:
a_{\min}=\frac{2d\,v_{1}^{2}}{(D-d)^{2}}=\frac{2\cdot 10\cdot 10^{2}}{(30-10)^{2}}=\frac{2000}{400}=5\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Como a_{\max}=3\\ \mathrm{m/s^{2}}<a_{\min}=5\\ \mathrm{m/s^{2}}, o carro não consegue ultrapassar dentro da pista dupla.
Conclusão numérica: não, o carro não consegue; o tempo teria sido \approx 2,582\\ \mathrm{s} e a aceleração mínima necessária seria 5\\ \mathrm{m/s^{2}}, maior que a disponível.

Resposta

a) x_{T}(t)=v_{1}\,t\n x_{C}(t)=-d+v_{1}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}\n
b) t=\sqrt{\dfrac{2d}{a}}\n
c) a_{\min}=\dfrac{2d\,v_{1}^{2}}{(D-d)^{2}}\n
d) Não. Com v_{1}=10\\ \mathrm{m/s}, d=10\\ \mathrm{m}, a=3\\ \mathrm{m/s^{2}} e D=30\\ \mathrm{m} temos t\approx 2,582\\ \mathrm{s}, deslocamento do carro \approx 35,82\\ \mathrm{m}>30\\ \mathrm{m} e a_{\min}=5\\ \mathrm{m/s^{2}}>3\\ \mathrm{m/s^{2}}, portanto a ultrapassagem não cabe na pista dupla.

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