Question 1 Em uma rodovia de mão dupla, um carro encontra-se a uma distância
atrás de um caminhão, ambos trafegando à uma velocidade constante
. O motorista decide ultrapassar o caminhão acelerando com uma aceleração constante
, mas a pista dupla só se estende por mais uma distância
.
a) Determine a trajetória do motorista e do caminhão.
b) Quanto tempo leva para o motorista ultrapassar o caminhão?
c) Determine qual deve ser a aceleração mínima do carro para que ele consiga ultrapassar o caminhão antes que a pista acabe.
d) Se a velocidade do caminhão é
, a distância inicial entre o carro e o caminhão é
, a aceleração máxima do carro é
e
, o carro conseguirá ultrapassar o caminhão antes que a pista dupla acabe?
Despreze o tamanho do carro e do caminhão.
a) Determine a trajetória do motorista e do caminhão.
b) Quanto tempo leva para o motorista ultrapassar o caminhão?
c) Determine qual deve ser a aceleração mínima do carro para que ele consiga ultrapassar o caminhão antes que a pista acabe.
d) Se a velocidade do caminhão é
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas (a–d). Vou listar precisamente o que foi dado e o que é pedido:
-
Dados fornecidos:
- Velocidade constante do caminhão:
. - Distância inicial do carro atrás do caminhão:
(ou seja, o carro está a uma distância atrás do caminhão no instante em que começa a manobra). - O carro inicia a ultrapassagem em
com velocidade inicial igual a e acelera com aceleração constante . - A pista dupla (trecho seguro para ultrapassagem) tem comprimento
a partir do ponto onde o carro começa a manobra. - Desprezam-se os tamanhos do carro e do caminhão.
- Velocidade constante do caminhão:
-
O que o enunciado pergunta:
a) Determinar as trajetórias (equações da posição em função do tempo) do motorista (carro) e do caminhão.
b) Determinar o tempo que leva para o carro ultrapassar o caminhão (isto é, o instante em que suas posições se igualam, já que os comprimentos são desprezados).
c) Determinar a aceleração mínimaque permite ao carro completar a ultrapassagem antes da pista dupla acabar (isto é, antes de percorrer distância desde o início da manobra).
d) Com, , e : o carro consegue ultrapassar antes do fim da pista dupla? (responder sim/não e justificar com cálculo).
Passo 2
Definição do referencial e fórmulas de cinemática (aulas rápidas necessárias). Vou adotar um eixo
unidimensional orientado no sentido do movimento. Coloco o caminhão inicialmente em
e o carro em
(isto satisfaz “o carro está a uma distância
atrás do caminhão”).
Fórmulas úteis (movimento retilíneo com velocidade/ aceleração constantes):
- Se um corpo se move com velocidade constante
, sua posição é onde é a posição inicial e o tempo. - Se um corpo tem velocidade inicial
e aceleração constante , sua posição é Aqui é a velocidade no instante e é a aceleração constante.
Usando essas fórmulas para nosso problema:
- Caminhão: velocidade constante
, posição inicial . Logo - Carro: velocidade inicial
(mesma do caminhão no instante ), posição inicial , aceleração . Logo
Isto responde a letra (a): as trajetórias são as equações acima.
Passo 3
Determinar o tempo de ultrapassagem (letra b). Definição prática: como desprezamos os comprimentos, consideramos que o carro ultrapassou o caminhão no instante
em que suas posições coincidirem, isto é, quando
.
Escrevemos a igualdade:
Note que os termos
aparecem em ambos os lados e se cancelam, porque ambos começaram com a mesma velocidade; isso é intuitivo: a ultrapassagem depende do ganho adicional de posição proporcionado pela aceleração, não do valor absoluto de
.
Ao cancelar
obtemos:
Isolando
:
(Escolhemos a raiz positiva porque tempo é não-negativo.)
Comentário didático: é importante observar que este tempo não depende de
; isso ocorre porque o carro e o caminhão partem com a mesma velocidade inicial, assim a componente de posição que cresce linearmente com
é a mesma para os dois e não afeta o instante de encontro. O que importa é a distância inicial
e a aceleração
que permite ao carro “fechar” essa distância.
Passo 4
Condição para completar a ultrapassagem antes de o fim da pista dupla (letra c). Interpretação: a partir do ponto onde o carro começa a ultrapassar (instante
), a pista dupla tem comprimento
; o carro não pode avançar mais do que
enquanto realiza a ultrapassagem. Como definimos
, o deslocamento do carro desde
até o instante da ultrapassagem
é
Mas
e
, então
Para que a ultrapassagem ocorra antes do fim da pista dupla precisamos de
Substituímos o tempo de ultrapassagem
(obtido no passo anterior):
Simplificando o segundo termo:
Isolando o termo com a raiz:
Supondo que
(se
a ultrapassagem é impossível porque mesmo sem velocidade do caminhão já se estaria fora da pista dupla), podemos dividir por
e por
, e seguir:
Agora elevamos ao quadrado (ambos os lados são não-negativos), obtendo
Invertemos e isolamos
:
Portanto a aceleração mínima necessária para garantir que a ultrapassagem termine antes do fim da pista dupla é
Comentário didático: a desigualdade apareceu porque queremos que o deslocamento do carro até o instante de ultrapassagem seja menor ou igual a
. Note também que se
se aproxima de
(pista curta), o denominador
fica pequeno e
cresce muito: com pouca pista extra, precisamos de grande aceleração.
Passo 5
Aplicação numérica (letra d). Dados numéricos:
,
,
,
.
- Tempo necessário para ultrapassar:
- Deslocamento do carro até esse instante:
Mas mais simples: já vimos que
. Então
Isto é maior que
, logo com
o carro não consegue completar a ultrapassagem antes do fim da pista dupla.
- Para comparar, calculemos
usando a fórmula do passo 4:
Como
, o carro não consegue ultrapassar dentro da pista dupla.
Conclusão numérica: não, o carro não consegue; o tempo teria sido
e a aceleração mínima necessária seria
, maior que a disponível.
Resposta
a)
\n
\n
b) \n
c) \n
d) Não. Com ,
,
e
temos
, deslocamento do carro
e
, portanto a ultrapassagem não cabe na pista dupla.
b)
c)
d) Não. Com