1.8 Expresse a parte real dos sinais a seguir na forma A e^{-a t} \cos (\omega t+\varphi) sendo A, a, \omega \mathrm{e} \varphi números reais com A>0 \mathrm{e}-\pi<\varphi \leq \pi :
x_{4}(t)=j e^{(-2+j 100) t}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a parte real de
x_{4}(t)=j\,e^{(-2+j\,100)\,t}
na forma
A\,e^{-a t}\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde A>0 e -\pi<\varphi\le\pi. Vamos usar as propriedades de números complexos e a fórmula de Euler.

Passo 2

Escrevemos j como um exponencial complexo. Sabe-se que
j = e^{j\frac{\pi}{2}}.
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x_{4}(t) = j\,e^{(-2+j\,100)\,t} = e^{j\frac{\pi}{2}}\;e^{-2t}\;e^{j\,100t} = e^{-2t}\;e^{j\bigl(100t+\frac{\pi}{2}\bigr)}.

Passo 3

A parte real de e^{-2t}e^{j\theta(t)} é e^{-2t}\cos\bigl(\theta(t)\bigr). Aqui \theta(t)=100t+\frac{\pi}{2}. Portanto
\Re\{x_{4}(t)\} = e^{-2t}\cos\!\bigl(100t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Isso está exatamente na forma pedida com
A=1,\quad a=2,\quad \omega=100,\quad \varphi=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\Re\{x_{4}(t)\} = e^{-2t}\cos\!\Bigl(100t+\tfrac{\pi}{2}\Bigr), \quad A=1,\;a=2,\;\omega=100,\;\varphi=\tfrac{\pi}{2}.

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