Expresse os polinômios (a) 2+5 x
(b) -x+2 x^{2}
(c) 3+3 x+5 x^{2} como combinação linear dos polinômios P(x)=2+x+4 x^{2} ; Q(x)=1-x+3 x^{2} e R(x)=3+2 x+5 x^{2}.
e se T\leftrightarrow\begin{pmatrix}t_{0}\\[4pt]t_{1}\\[4pt]t_{2}\end{pmatrix} (constante, coef. de x, coef. de x^{2}), então precisamos resolver o sistema matricial
Da primeira equação isolamos \beta\]: \(\beta=2-2\alpha-3\gamma.
Substituindo na segunda:
\alpha-(2-2\alpha-3\gamma)+2\gamma=5
\Rightarrow \alpha-2+2\alpha+3\gamma+2\gamma=5
\Rightarrow 3\alpha+5\gamma=7. \tag{A}
Substituindo \beta na terceira:
4\alpha+3(2-2\alpha-3\gamma)+5\gamma=0
\Rightarrow 4\alpha+6-6\alpha-9\gamma+5\gamma=0
\Rightarrow -2\alpha-4\gamma=-6
\Rightarrow \alpha+2\gamma=3. \tag{B}
Resolver (A) e (B): multiplicando (B) por 3 dá 3\alpha+6\gamma=9. Subtraindo (A) 3\alpha+5\gamma=7 resulta em \gamma=2. Então \alpha+2\cdot2=3\Rightarrow \alpha=-1.
Finalmente \beta=2-2(-1)-3(2)=2+2-6=-2.
Portanto para (a) temos \alpha=-1,\\ \beta=-2,\\ \gamma=2. Verificação rápida dos coeficientes: