1. Expresse os polinômios (a) 2+5 x
    (b) -x+2 x^{2}
    (c) 3+3 x+5 x^{2} como combinação linear dos polinômios P(x)=2+x+4 x^{2} ; Q(x)=1-x+3 x^{2} e R(x)=3+2 x+5 x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá três polinômios
P(x)=2+x+4x^{2},\qquad Q(x)=1-x+3x^{2},\qquad R(x)=3+2x+5x^{2}
e pede para expressar, como combinação linear desses três, os polinômios
\text{(a)}\;2+5x,\qquad \text{(b)}\;-x+2x^{2},\qquad \text{\text{(c)}}\;3+3x+5x^{2}.
Ou seja, para cada polinômio alvo T(x) queremos encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha P(x)+\beta Q(x)+\gamma R(x)=T(x).
Aqui os dados relevantes são os coeficientes (constante, x, x^{2}) de P,Q,R e de cada T.

Passo 2

Ideia e tradução para um sistema linear (aula rápida e prática).
  • Polinômios de grau ≤ 2 podem ser vistos como vetores de três componentes, sendo as componentes os coeficientes das potências 1,x,x^{2}.
  • Escrever \alpha P+\beta Q+\gamma R=T é o mesmo que igualar coeficiente a coeficiente. Se escrevemos os vetores:
P\leftrightarrow\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix},\quad Q\leftrightarrow\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad R\leftrightarrow\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]5\end{pmatrix},
e se T\leftrightarrow\begin{pmatrix}t_{0}\\[4pt]t_{1}\\[4pt]t_{2}\end{pmatrix} (constante, coef. de x, coef. de x^{2}), então precisamos resolver o sistema matricial
\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[4pt]1 & -1 & 2\\[4pt]4 & 3 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t_{0}\\[4pt]t_{1}\\[4pt]t_{2}\end{pmatrix}.
Vou chamar a matriz dos coeficientes de
M=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[4pt]1 & -1 & 2\\[4pt]4 & 3 & 5\end{pmatrix}.
Antes de resolver, é útil verificar que M é invertível (assim existe uma única combinação). Calulo o determinante (rápido):
\det(M)=2\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}-1\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix}+3\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}=2.
Como \det(M)=2\neq0, existe solução única para cada alvo.]

Passo 3

Resolver para o item (a): T_{a}(x)=2+5x\). O vetor de coeficientes é \[v_{a}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Escrevemos o sistema componente a componente:
\begin{cases} 2\alpha+\beta+3\gamma=2,\\[4pt] \alpha-\beta+2\gamma=5,\\[4pt] 4\alpha+3\beta+5\gamma=0. \end{cases}
Agora eliminação (passo a passo):
  • Da primeira equação isolamos \beta\]: \(\beta=2-2\alpha-3\gamma.
  • Substituindo na segunda:
\alpha-(2-2\alpha-3\gamma)+2\gamma=5
\Rightarrow \alpha-2+2\alpha+3\gamma+2\gamma=5
\Rightarrow 3\alpha+5\gamma=7. \tag{A}
  • Substituindo \beta na terceira:
4\alpha+3(2-2\alpha-3\gamma)+5\gamma=0
\Rightarrow 4\alpha+6-6\alpha-9\gamma+5\gamma=0
\Rightarrow -2\alpha-4\gamma=-6
\Rightarrow \alpha+2\gamma=3. \tag{B}
  • Resolver (A) e (B): multiplicando (B) por 3 3\alpha+6\gamma=9. Subtraindo (A) 3\alpha+5\gamma=7 resulta em \gamma=2. Então \alpha+2\cdot2=3\Rightarrow \alpha=-1.
  • Finalmente \beta=2-2(-1)-3(2)=2+2-6=-2.
Portanto para (a) temos \alpha=-1,\\ \beta=-2,\\ \gamma=2. Verificação rápida dos coeficientes:
-1\cdot P-2\cdot Q+2\cdot R=( -2-2+6 ) + ( -1+2+4 )x + ( -4-6+10 )x^{2}=2+5x+0x^{2}.
Tudo confere.]

Passo 4

Resolver para o item (b): T_{b}(x)=-x+2x^{2}\). O vetor é \[v_{b}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Sistema:
\begin{cases} 2\alpha+\beta+3\gamma=0,\\[4pt] \alpha-\beta+2\gamma=-1,\\[4pt] 4\alpha+3\beta+5\gamma=2. \end{cases}
Eliminação:
  • Da primeira obtemos (\beta=-2\alpha-3\gamma].
  • Substituindo na segunda:
\alpha-(-2\alpha-3\gamma)+2\gamma=-1
\Rightarrow 3\alpha+5\gamma=-1. \tag{C}
  • Substituindo na terceira:
4\alpha+3(-2\alpha-3\gamma)+5\gamma=2
\Rightarrow 4\alpha-6\alpha-9\gamma+5\gamma=2
\Rightarrow -2\alpha-4\gamma=2
\Rightarrow \alpha+2\gamma=-1. \tag{D}
  • Resolver (C) e (D): multiplica (D) por 3: 3\alpha+6\gamma=-3. Subtrair (C) 3\alpha+5\gamma=-1 -\gamma=-2\Rightarrow \gamma=-2.
  • Então \alpha+2(-2)=-1\Rightarrow \alpha=3.
  • E \beta=-2\alpha-3\gamma=-6+6=0.
Portanto para (b) temos \alpha=3,\\ \beta=0,\\ \gamma=-2. Verificação:
3P+0\cdot Q-2R=(6-6)+ (3+0-4 )x + (12-10)x^{2}=0 -1x +2x^{2}.
Confere com -x+2x^{2}.]

Passo 5

Resolver para o item (c): T_{c}(x)=3+3x+5x^{2}\). O vetor é \[v_{c}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Sistema:
\begin{cases} 2\alpha+\beta+3\gamma=3,\\[4pt] \alpha-\beta+2\gamma=3,\\[4pt] 4\alpha+3\beta+5\gamma=5. \end{cases}
Eliminação:
  • De novo (\beta=3-2\alpha-3\gamma] a partir da primeira equação.
  • Substituindo na segunda:
\alpha-(3-2\alpha-3\gamma)+2\gamma=3
\Rightarrow 3\alpha+5\gamma=6. \tag{E}
  • Substituindo na terceira:
4\alpha+3(3-2\alpha-3\gamma)+5\gamma=5
\Rightarrow 4\alpha+9-6\alpha-9\gamma+5\gamma=5
\Rightarrow -2\alpha-4\gamma=-4
\Rightarrow \alpha+2\gamma=2. \tag{F}
  • Resolver (E) e (F): multiplicar (F) por 3 3\alpha+6\gamma=6. Subtrair (E) 3\alpha+5\gamma=6 resulta em \gamma=0.
  • Então \alpha=2 e \beta=3-2\cdot2-3\cdot0=-1.
Portanto para (c) temos \alpha=2,\\ \beta=-1,\\ \gamma=0. Verificação:
2P-1\cdot Q+0\cdot R=(4-1)+(2+1)x+(8-3)x^{2}=3+3x+5x^{2}.]

Resposta

(a) 2+5x = -1\cdot P(x) -2\cdot Q(x) +2\cdot R(x)
(b) -x+2x^{2} = 3\cdot P(x) +0\cdot Q(x) -2\cdot R(x)
(c) 3+3x+5x^{2} = 2\cdot P(x) -1\cdot Q(x) +0\cdot R(x)

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