- Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaco vetorial do esnaen vetorial
(h)
(j)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
- Item (h):
é o espaço vetorial de todas as funções reais de variável real. O subconjunto é
O que se pede: verificar se
é um subespaço vetorial de
.
- Item (j):
é o espaço vetorial de todas as matrizes sobre (ou , mas assumimos ). O subconjunto é
ou seja, todas as matrizes que não comutam com uma dada matriz fixa
. O que se pede: verificar se esse
é um subespaço vetorial de
.
Passo 2
Recordando a definição prática de subespaço vetorial (regra que vou usar para ambos os itens):
Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades equivalentes que eu uso muito na prova rápida:
-
não é vazio e contém o vetor zero de . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar, então .
Explicando isso com calma: a ideia é que um subespaço tem que ser, por si só, um espaço vetorial com as mesmas operações. O critério usual e prático é checar presença do vetor zero e fechamento por soma e por escalares — se estas três valem, então
é subespaço.
Passo 3
Vou checar as três propriedades para
- Não-vazio / contém o vetor zero: considere a função zero
definida por para todo . Para todo vale , logo . Portanto não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 4
Agora verifico fechamento por soma. Tome
. Pela definição de
, para todo
tem-se
e
. Então, para todo
,
Portanto
satisfaz a condição de pertencer a
. Conclusão:
é fechado sob adição.
(Dica prática para a prova: sempre que um conjunto é definido por uma condição ponto-a-ponto tipo “função que vale 0 num intervalo”, as verificações de fechamento são quase imediatas usando a definição ponto a ponto.)
Passo 5
Verifico fechamento por multiplicação escalar. Seja
Logo
. Assim as três propriedades estão satisfeitas (contém o zero, fechado por soma e por escalares). Portanto
é um subespaço vetorial de
.
Um exemplo concreto para fixar:
para todo
e
;
também vale zero em
.
Passo 6
Agora trato o item (j):
Primeira observação rápida e decisiva: a matriz nula
satisfaz
, ou seja,
. Isso significa que a matriz zero NÃO satisfaz a condição
. Portanto
.
Como requisito necessário para um subespaço é conter o vetor zero, o fato
já basta para concluir que
não é subespaço vetorial de
, salvo cuidado com o caso degenerate em que
fosse vazio por outra razão — vou comentar isso em seguida.
Passo 7
Complemento com um argumento geral mostrando também falha de fechamento (é uma forma didática de ver que a falha não é apenas do zero):
- Se existir algum
(isto é, alguma matriz que não comuta com ), então também não comuta com , porque
e
implica
. Assim
e
, mas a soma
comuta com
e portanto não pertence a
. Isso mostra que
não é fechado sob adição sempre que
não for vazio. Logo, se
tiver algum elemento, ele e seu negativo fornecem uma soma fora de
.
- Caso especial: há situações em que
é vazio: se (matriz escalar), então para toda vale , logo . Mas o conjunto vazio também não é subespaço vetorial porque um subespaço deve conter o vetor zero. Portanto mesmo neste caso não é subespaço.
Conclusão: em qualquer cenário possível (seja
vazio ou não),
não é subespaço vetorial de
.
Para tornar mais concreto, um exemplo numérico: tome
Calculando
logo
, portanto
. Pelo argumento anterior,
também, mas
. Isso mostra explicitamente a falha de fechamento por soma.]
Resposta
(h) Sim —
é subespaço vetorial de
.
(j) Não —
não é subespaço vetorial de
.