1. Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaco vetorial do esnaen vetorial V
(h) V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), W=\{f \in V ; f(x)=0, \forall x \in[0,1]\}
(j) V=M(n \times n), W=\{B \in M(n \times n) ; A B \neq B A

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
  • Item (h): V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) é o espaço vetorial de todas as funções reais de variável real. O subconjunto W é
W=\{f\in V \mid f(x)=0,\\ \forall x\in[0,1]\}.
O que se pede: verificar se W é um subespaço vetorial de V.
  • Item (j): V=M(n\times n) é o espaço vetorial de todas as matrizes n\times n sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}, mas assumimos \mathbb{R}). O subconjunto W é
W=\{B\in M(n\times n)\mid A B \neq B A\},
ou seja, todas as matrizes que não comutam com uma dada matriz fixa A\in M(n\times n). O que se pede: verificar se esse W é um subespaço vetorial de V.

Passo 2

Recordando a definição prática de subespaço vetorial (regra que vou usar para ambos os itens):
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades equivalentes que eu uso muito na prova rápida:
  1. W não é vazio e contém o vetor zero de V.
  2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha é escalar, então \alpha u\in W.
Explicando isso com calma: a ideia é que um subespaço tem que ser, por si só, um espaço vetorial com as mesmas operações. O critério usual e prático é checar presença do vetor zero e fechamento por soma e por escalares — se estas três valem, então W é subespaço.

Passo 3

Vou checar as três propriedades para
W=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(x)=0,\\ \forall x\in[0,1]\}.
  1. Não-vazio / contém o vetor zero: considere a função zero \mathbf{0} definida por \mathbf{0}(x)=0 para todo x\in\mathbb{R}. Para todo x\in[0,1] vale \mathbf{0}(x)=0, logo \mathbf{0}\in W. Portanto W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Agora verifico fechamento por soma. Tome f,g\in W. Pela definição de W, para todo x\in[0,1] tem-se f(x)=0 e g(x)=0. Então, para todo x\in[0,1],
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0.
Portanto f+g satisfaz a condição de pertencer a W. Conclusão: W é fechado sob adição.
(Dica prática para a prova: sempre que um conjunto é definido por uma condição ponto-a-ponto tipo “função que vale 0 num intervalo”, as verificações de fechamento são quase imediatas usando a definição ponto a ponto.)

Passo 5

Verifico fechamento por multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R}\) e \(f\in W\). Para todo \(x\in[0,1]\) temos \(f(x)=0\). Então \[(\alpha f)(x)=\alpha\cdot f(x)=\alpha\cdot 0=0.
Logo \alpha f\in W. Assim as três propriedades estão satisfeitas (contém o zero, fechado por soma e por escalares). Portanto W é um subespaço vetorial de V.
Um exemplo concreto para fixar: f(x)=0 para todo x e g(x)=\begin{cases}0,&x\in[0,1]\\\ x-1,&x>1\end{cases}\] estão em \(W; f+g também vale zero em [0,1].

Passo 6

Agora trato o item (j):
W=\{B\in M(n\times n)\mid A B \neq B A\}.
Primeira observação rápida e decisiva: a matriz nula 0 satisfaz A0=0=0A, ou seja, A0=0A. Isso significa que a matriz zero NÃO satisfaz a condição AB\neq BA. Portanto 0\notin W.
Como requisito necessário para um subespaço é conter o vetor zero, o fato 0\notin W já basta para concluir que W não é subespaço vetorial de V, salvo cuidado com o caso degenerate em que W fosse vazio por outra razão — vou comentar isso em seguida.

Passo 7

Complemento com um argumento geral mostrando também falha de fechamento (é uma forma didática de ver que a falha não é apenas do zero):
  • Se existir algum B\in W (isto é, alguma matriz que não comuta com A), então -B também não comuta com A, porque
A(-B)=-(AB)\quad\text{e}\quad(-B)A=-(BA),
e AB\neq BA implica -(AB)\neq -(BA). Assim B\in W e -B\in W, mas a soma B+(-B)=0 comuta com A e portanto não pertence a W. Isso mostra que W não é fechado sob adição sempre que W não for vazio. Logo, se W tiver algum elemento, ele e seu negativo fornecem uma soma fora de W.
  • Caso especial: há situações em que W é vazio: se A=\lambda I (matriz escalar), então para toda B vale AB=BA, logo W=\varnothing. Mas o conjunto vazio também não é subespaço vetorial porque um subespaço deve conter o vetor zero. Portanto mesmo neste caso W não é subespaço.
Conclusão: em qualquer cenário possível (seja W vazio ou não), W não é subespaço vetorial de M(n\times n).
Para tornar mais concreto, um exemplo numérico: tome
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Calculando
AB=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]0&0\end{pmatrix},
logo AB\neq BA, portanto B\in W. Pelo argumento anterior, -B\in W também, mas B+(-B)=0\notin W. Isso mostra explicitamente a falha de fechamento por soma.]

Resposta

(h) Sim — W é subespaço vetorial de V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).
(j) Não — W não é subespaço vetorial de V=M(n\times n).

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