- Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaco vetorial do esnaen vetorial
(h)
(i)
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados em cada caso.
- Há duas questões separadas (h) e (i), cada uma pedindo que se verifique se um conjunto
é subespaço vetorial do espaço vetorial . - (h)
, o conjunto de todas as funções . O subconjunto é Pergunta: é subespaço de ? - (i)
, o espaço de todas as matrizes (sobre um mesmo corpo, por exemplo ). O subconjunto é para uma matriz fixa dada. Pergunta: é subespaço de ?
Passo 2
Relembrando, de forma didática e prática, o critério que vou usar (coisa que cai sempre na prova):
- Definição curta: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço vetorial se também for um espaço vetorial com as mesmas operações de . - Critério prático e muito usado em provas: basta verificar três propriedades (ou, de forma equivalente, que
é não-vazio e fechado por combinações lineares simples): -
contém o vetor nulo de . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar então .
-
Explicando por que isso basta: essas três propriedades garantem que todas as axiomas de espaço vetorial que envolvem combinações lineares são satisfeitos pelo subconjunto; as demais propriedades (associatividade, existência de inverso aditivo, etc.) vêm “de herança” de
.
Vou aplicar esse critério em cada item, mostrando com contas explícitas.
Passo 3
Aplicação ao item (h): verificar se
é subespaço.
Primeiro, mostro que o elemento zero está em
.
- O vetor nulo em
é a função zero definida por para todo . - Como
para todo , em particular para todo . - Logo
. Assim a propriedade 1 está satisfeita.
(Dica de prova: sempre que o subconjunto for definido por uma condição de igualdade que zera algo, conferir o elemento zero é quase automático — é o primeiro passo na prova.)
Passo 4
Continuo (h): fechar por adição.
- Tome
. Por definição, isso significa que e para todo . - Considere a soma
. Para qualquer temos - Portanto
para todo , ou seja . - Conclusão:
é fechado por adição.
Explicação didática: somar duas funções que são nulas no intervalo continua dando função nula nesse intervalo — a propriedade é ponto a ponto.
Passo 5
Finalizo (h): fechar por multiplicação escalar e concluir.
- Tome
e qualquer escalar (por exemplo ). - Para todo
vale - Logo
. - Como
contém , é fechado por soma e por multiplicação escalar, concluímos que é subespaço de .
Resumo do raciocínio para prova em exame: mostrar explicitamente que zero pertence, depois pegar
e escrever
e
e usar que
em
.
Passo 6
Aplicação ao item (i):
e
, isto é, o conjunto das matrizes que comutam com
.
Vou verificar as três propriedades do critério.
Primeiro, elemento zero.
- O elemento zero em
é a matriz zero (todas entradas zero). - Tem-se
para qualquer matriz . - Portanto
. Propriedade 1 satisfeita.
Passo 7
Continuo (i): fechar por adição.
- Tome
. Por definição e . - Considere
. Calculamos - Assim
comuta com , logo . - Portanto
é fechado por adição.
Nota didática: usamos propriedades distributivas da multiplicação matricial; isso é válido em qualquer espaço de matrizes sobre um corpo.
Passo 8
Finalizo (i): fechar por multiplicação escalar e concluir.
- Tome
e escalar . - Então
- Logo
. - Assim
contém , é fechado por soma e por multiplicação escalar, portanto é subespaço de .
Comentário intuitivo: o conjunto das matrizes que comutam com uma dada
é chamado de centralizador de
e é sempre um subespaço (na prática de provas, mostrar as contas distributivas como fiz acima basta).
Resposta
(h) Sim,
é subespaço vetorial de
.
(i) Sim,
é subespaço vetorial de
.