1. Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaco vetorial do esnaen vetorial V
(h) V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), W=\{f \in V ; f(x)=0, \forall x \in[0,1]\}
(i) V=M(n \times n), W=\{B \in M(n \times n) ; A B=B A\}.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados em cada caso.
  • Há duas questões separadas (h) e (i), cada uma pedindo que se verifique se um conjunto W é subespaço vetorial do espaço vetorial V.
  • (h) V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), o conjunto de todas as funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. O subconjunto é W=\{f\in V \mid f(x)=0,\\ \forall x\in[0,1]\}.Pergunta: W é subespaço de V?
  • (i) V=M(n\times n), o espaço de todas as matrizes n\times n (sobre um mesmo corpo, por exemplo \mathbb{R}). O subconjunto é W=\{B\in M(n\times n)\mid AB=BA\},para uma matriz fixa A dada. Pergunta: W é subespaço de V?

Passo 2

Relembrando, de forma didática e prática, o critério que vou usar (coisa que cai sempre na prova):
  • Definição curta: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se W também for um espaço vetorial com as mesmas operações de V.
  • Critério prático e muito usado em provas: basta verificar três propriedades (ou, de forma equivalente, que W é não-vazio e fechado por combinações lineares simples):
    1. W contém o vetor nulo de V.
    2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha é escalar então \alpha u\in W.
Explicando por que isso basta: essas três propriedades garantem que todas as axiomas de espaço vetorial que envolvem combinações lineares são satisfeitos pelo subconjunto; as demais propriedades (associatividade, existência de inverso aditivo, etc.) vêm “de herança” de V.
Vou aplicar esse critério em cada item, mostrando com contas explícitas.

Passo 3

Aplicação ao item (h): verificar se W=\{f\in V\mid f(x)=0,\\ \forall x\in[0,1]\} é subespaço.
Primeiro, mostro que o elemento zero está em W.
  • O vetor nulo em V é a função zero 0_V definida por 0_V(x)=0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Como 0_V(x)=0 para todo x, em particular 0_V(x)=0 para todo x\in[0,1].
  • Logo 0_V\in W. Assim a propriedade 1 está satisfeita.
(Dica de prova: sempre que o subconjunto for definido por uma condição de igualdade que zera algo, conferir o elemento zero é quase automático — é o primeiro passo na prova.)

Passo 4

Continuo (h): fechar por adição.
  • Tome f,g\in W. Por definição, isso significa que f(x)=0 e g(x)=0 para todo x\in[0,1].
  • Considere a soma h=f+g. Para qualquer x\in[0,1] temos h(x) = (f+g)(x) = f(x)+g(x) = 0+0 = 0.
  • Portanto h(x)=0 para todo x\in[0,1], ou seja f+g\in W.
  • Conclusão: W é fechado por adição.
Explicação didática: somar duas funções que são nulas no intervalo continua dando função nula nesse intervalo — a propriedade é ponto a ponto.

Passo 5

Finalizo (h): fechar por multiplicação escalar e concluir.
  • Tome f\in W e \alpha qualquer escalar (por exemplo \alpha\in\mathbb{R}).
  • Para todo x\in[0,1] vale (\alpha f)(x)=\alpha\cdot f(x)=\alpha\cdot 0=0.
  • Logo \alpha f\in W.
  • Como W contém 0_V, é fechado por soma e por multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço de V.
Resumo do raciocínio para prova em exame: mostrar explicitamente que zero pertence, depois pegar f,g\in W e escrever (f+g)(x)=f(x)+g(x) e (\alpha f)(x)=\alpha f(x) e usar que f(x)=g(x)=0 em [0,1].

Passo 6

Aplicação ao item (i): V=M(n\times n) e W=\{B\in M(n\times n)\mid AB=BA\}, isto é, o conjunto das matrizes que comutam com A.
Vou verificar as três propriedades do critério.
Primeiro, elemento zero.
  • O elemento zero em V é a matriz zero 0 (todas entradas zero).
  • Tem-se A0 = 0 = 0A para qualquer matriz A.
  • Portanto 0\in W. Propriedade 1 satisfeita.

Passo 7

Continuo (i): fechar por adição.
  • Tome B_1,B_2\in W. Por definição AB_1=B_1A e AB_2=B_2A.
  • Considere B_1+B_2. Calculamos A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2=B_1A+B_2A=(B_1+B_2)A.
  • Assim B_1+B_2 comuta com A, logo B_1+B_2\in W.
  • Portanto W é fechado por adição.
Nota didática: usamos propriedades distributivas da multiplicação matricial; isso é válido em qualquer espaço de matrizes sobre um corpo.

Passo 8

Finalizo (i): fechar por multiplicação escalar e concluir.
  • Tome B\in W e escalar \alpha.
  • Então A(\alpha B)=\alpha(AB)=\alpha(BA)=(\alpha B)A.
  • Logo \alpha B\in W.
  • Assim W contém 0, é fechado por soma e por multiplicação escalar, portanto W é subespaço de V.
Comentário intuitivo: o conjunto das matrizes que comutam com uma dada A é chamado de centralizador de A e é sempre um subespaço (na prática de provas, mostrar as contas distributivas como fiz acima basta).

Resposta

(h) Sim, W é subespaço vetorial de V.
(i) Sim, W é subespaço vetorial de V.

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