Expresse os seguintes fasores relativos a correntes e tensões senoidais de 60 Hz :
V=1 \underline{120^{\circ}} \mathrm{kV}.

Passo 1

O enunciado dá um único fasor e pede que o expressemos. Dados fornecidos:
V = 1\underline{120^\circ}\\ \text{kV}.
Informações relevantes que devemos usar:
  • A magnitude é \,1\\ \text{kV}.
  • O ângulo é \,120^\circ.
  • A frequência é 60\\ \text{Hz} (útil para escrever a forma no tempo).
    Nada mais foi pedido explicitamente, então vamos transformar esse fasor em formas usuais: forma retangular (parte real + j parte imaginária), forma exponencial e a expressão no domínio do tempo (função instantânea v(t)). Também deixarei claro a convenção RMS vs. amplitude de pico, porque são duas convenções comuns.

Passo 2

O que é um fasor e como converter polar → retangular:
  • Um fasor em notação polar |V|\angle\theta representa o número complexo
V = |V|(\cos\theta + j\sin\theta).
  • Em forma exponencial complexa também se escreve
V = |V|e^{j\theta},
onde \theta deve estar em radianos dentro da exponencial (mas pode ser indicado em graus).
  • Para passar para o domínio do tempo (sinal real), se o fasor representa a amplitude de pico, então
v(t)=|V|\cos(\omega t+\theta).
Se o fasor representa o valor eficaz (RMS), então a amplitude de pico é \sqrt{2}|V| e
v(t)=\sqrt{2}\,|V|\cos(\omega t+\theta).
  • A pulsação é \omega=2\pi f. Com f=60\\ \text{Hz} temos \omega=2\pi\cdot60=120\pi\\ \text{rad/s}.
  • Converter kV → V: 1\\ \text{kV}=1000\\ \text{V}. Portanto usaremos |V|=1000\\ \text{V} nas contas.

Passo 3

Converter o ângulo para radianos (quando necessário na exponencial):
120^\circ = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}\\ \text{rad}.

Passo 4

Calcular a forma retangular usando as funções trigonométricas exatas:
  • Sabemos que
\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2},\qquad \sin 120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Multiplicando pela magnitude em volts (1000\\ \text{V}),
\text{parte real} = 1000\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -500\\ \text{V},
\text{parte imaginária} = 1000\cdot\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=500\sqrt{3}\\ \text{V}\approx 866{,}025\\ \text{V}.á
Logo a forma retangular (complexa) é
V = -500 + j\,500\sqrt{3}\\ \text{V}\quad(\text{ou aproximadamente }-500 + j\,866{,}025\\ \text{V}).

Passo 5

Escrever a forma exponencial (usando radianos):
V = 1000\,e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \text{V}.
(Isto é equivalente a 1000\angle 120^\circ em kV convertido para V.)

Passo 6

Escrever a expressão no domínio do tempo:
  • A pulsação é \omega=120\pi\\ \text{rad/s}.
  • Se interpretarmos o fasor como amplitude de pico: a forma no tempo é
v(t)=1000\cos\!\bigl(120\pi t + 120^\circ\bigr)\\ \text{V}.
  • Se interpretarmos o fasor como valor RMS (convenção muito comum em circuitos CA), a amplitude de pico é \sqrt{2}\cdot1000 e a forma no tempo é
v(t)=1000\sqrt{2}\cos\!\bigl(120\pi t + 120^\circ\bigr)\\ \text{V}.
Expliquei as duas porque ambas as convenções aparecem em provas e exercícios.

Resposta

V = 1000\angle 120^\circ\\ \text{V}
V = -500 + j\,500\sqrt{3}\\ \text{V}\\ (\approx -500 + j\,866{,}025\\ \text{V})
V = 1000\,e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \text{V}
Se o fasor for amplitude de pico:
v(t)=1000\cos\!\bigl(120\pi t + 120^\circ\bigr)\\ \text{V}
Se o fasor for valor RMS:
v(t)=1000\sqrt{2}\cos\!\bigl(120\pi t + 120^\circ\bigr)\\ \text{V}

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