Expresse os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
O enunciado pede para expressar o ponto
em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
Informações dadas: o ponto cartesiano é .
Perguntas explícitas:
Informações dadas: o ponto cartesiano é
Perguntas explícitas:
- Calcular as coordenadas cilíndricas de
. - Calcular as coordenadas esféricas de
.
Passo 2
Definição e fórmulas úteis para coordenadas cilíndricas (vamos aprender devagarinho).
Na convenção usual, um ponto cartesiano corresponde às coordenadas cilíndricas
onde:
Na convenção usual, um ponto cartesiano
Explicação do
: a fórmula simples é
, mas essa expressão não resolve o problema de em qual quadrante o ângulo está. Por isso, na prática usamos a função
, que dá o ângulo correto levando em conta os sinais de
e
. Se quisermos um valor em
podemos ajustar adicionando
quando necessário.
Passo 3
Calcular as coordenadas cilíndricas de
.
Calcule
:
Calcule
: aqui
e
, então o ponto está no quarto quadrante (à direita e abaixo do eixo
). A expressão direta dá
Uma forma equivalente e com
no intervalo
é
(Se quiser um valor numérico aproximado:
então
rad ou
rad.)
O
cilíndrico é igual ao
cartesiano:
Passo 4
Resumo das coordenadas cilíndricas (em forma exata):
ou, se preferir o ângulo em
,
Passo 5
Definição e fórmulas úteis para coordenadas esféricas (convencional):
Usamos a tripla onde:
Usamos a tripla
Relação prática para
:
Outra expressão útil é
com cuidado com o sinal de
(por isso prefiro a fórmula com
).
Passo 6
Calcular as coordenadas esféricas de
.
Calcule
:
Já sabemos
do passo anterior:
(ou
conforme preferência de intervalo).
Calcule
:
Observação numérica:
e
, então
rad (aproximadamente
), o que faz sentido porque
é negativo e
.
Passo 7
Resumo das coordenadas esféricas (forma exata):