Expresse os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas e esféricas:
P(1,-4,-3)

Passo 1

O enunciado pede para expressar o ponto P(1,-4,-3) em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
Informações dadas: o ponto cartesiano é (1,-4,-3).
Perguntas explícitas:
  • Calcular as coordenadas cilíndricas de P.
  • Calcular as coordenadas esféricas de P.

Passo 2

Definição e fórmulas úteis para coordenadas cilíndricas (vamos aprender devagarinho).
Na convenção usual, um ponto cartesiano (x,y,z) corresponde às coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) onde:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\theta=\text{ângulo azimutal no plano }xy\\ (\text{medido a partir do eixo }x^{+})â
z=\text{mesmo }z\text{ cartesiano}
Explicação do \theta: a fórmula simples é \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), mas essa expressão não resolve o problema de em qual quadrante o ângulo está. Por isso, na prática usamos a função \operatorname{atan2}(y,x), que dá o ângulo correto levando em conta os sinais de x e y. Se quisermos um valor em [0,2\pi) podemos ajustar adicionando 2\pi quando necessário.

Passo 3

Calcular as coordenadas cilíndricas de P(1,-4,-3).
Calcule r:
r=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}.
Calcule \theta: aqui x=1>0 e y=-4<0, então o ponto está no quarto quadrante (à direita e abaixo do eixo x). A expressão direta dá
\theta=\arctan\!\left(\frac{-4}{1}\right)=-\arctan(4).
Uma forma equivalente e com \theta no intervalo [0,2\pi) é
\theta=2\pi-\arctan(4).
(Se quiser um valor numérico aproximado: \arctan(4)\approx 1,32581766 então \theta\approx -1,3258 rad ou \theta\approx 4,957367 rad.)
O z cilíndrico é igual ao z cartesiano:
z=-3.

Passo 4

Resumo das coordenadas cilíndricas (em forma exata):
\text{cilíndricas: }\left(\sqrt{17},\;2\pi-\arctan(4),\;-3\right),í
ou, se preferir o ângulo em (-\pi,\pi],
\text{cilíndricas: }\left(\sqrt{17},\;-\arctan(4),\;-3\right).í

Passo 5

Definição e fórmulas úteis para coordenadas esféricas (convencional):
Usamos a tripla (\rho,\theta,\varphi) onde:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\theta=\text{mesmo ângulo azimutal do sistema cilíndrico}âí
\varphi=\text{ângulo entre o vetor posição e o eixo }z^{+}\\ (\text{colatitude, }0\le\varphi\le\pi)âçã
Relação prática para \varphi:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right).
Outra expressão útil é \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}\right) com cuidado com o sinal de z (por isso prefiro a fórmula com \operatorname{arccos}).

Passo 6

Calcular as coordenadas esféricas de P(1,-4,-3).
Calcule \rho:
\rho=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}.
Já sabemos \theta do passo anterior: \theta=2\pi-\arctan(4) (ou \theta=-\arctan(4) conforme preferência de intervalo).
Calcule \varphi:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-3}{\sqrt{26}}\right).
Observação numérica: \sqrt{26}\approx 5,0990195 e \dfrac{-3}{\sqrt{26}}\approx -0,588348, então \varphi\approx 2,197363 rad (aproximadamente 126^\circ), o que faz sentido porque z é negativo e \varphi>\tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Resumo das coordenadas esféricas (forma exata):
\text{esféricas: }\left(\sqrt{26},\;2\pi-\arctan(4),\;\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-3}{\sqrt{26}}\right)\right).é

Resposta

\text{Cilíndricas: }\left(\sqrt{17},\;2\pi-\arctan(4),\;-3\right)í
\text{Esféricas: }\left(\sqrt{26},\;2\pi-\arctan(4),\;\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-3}{\sqrt{26}}\right)\right)é

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