Exercicio 2: Dados os pares de expressões para correntes e tensões em componentes elétricos a seguir, verifique se o elemento é um resistor, um capacitor ou um indutor. Em cada caso determine o valor do componente \mathrm{R}, \mathrm{L} ou C .
v(t) =500 sen(157 t+π / 6)
i(t) =sen(157 t+2 π / 3)

Passo 1

O enunciado fornece duas expressões no tempo para tensão e corrente e pede que eu verifique que tipo de elemento é (resistor, capacitor ou indutor) e determine o valor do componente ( R, L ou C). As informações dadas são:
v(t)=500\operatorname{sen}(157\,t+\tfrac{\pi}{6})
i(t)=\operatorname{sen}(157\,t+\tfrac{2\pi}{3})
Portanto as perguntas são:
  1. Qual é o tipo do elemento (resistor, capacitor ou indutor)?
  2. Qual é o valor numérico do componente correspondente ( R, L ou C)?

Passo 2

Primeiro vamos transformar essas ondas senoidais em fasores (representação complexa na frequência angular \omega). Vou explicar o conceito com calma: um fasor representa a amplitude e a fase de uma sinusoide com uma única frequência \omega. Se temos uma grandeza no tempo A_m\operatorname{sen}(\omega t+\varphi), o fasor associado é A_m\angle\varphi (amplitude A_m e ângulo \varphi). Aqui:
  • amplitude da tensão é V_m=500 (unidades: volts),
  • amplitude da corrente é I_m=1 (unidades: ampères),
  • as fases são \phi_v=\tfrac{\pi}{6} e \phi_i=\tfrac{2\pi}{3},
  • a frequência angular é \omega=157 (rad/s), que aparece como multiplicador de t.
Então os fasores são:
\mathbf{V}=500\angle\frac{\pi}{6}
\mathbf{I}=1\angle\frac{2\pi}{3}
Explicando as notações: \mathbf{V} é o fasor da tensão (magnitude em volts e fase em radianos) e \mathbf{I} é o fasor da corrente (magnitude em ampères e fase em radianos).

Passo 3

Agora calculo a diferença de fase entre tensão e corrente:
\Delta\varphi=\phi_v-\phi_i=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{6}-\frac{4\pi}{6}=-\frac{3\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}.
Interpretação física (muito importante para decidir o tipo de elemento):
  • Se a tensão está em fase com a corrente ( \Delta\varphi=0) → resistor.
  • Se a tensão antecipa a corrente por +\tfrac{\pi}{2} (tensão 90° à frente) → indutor.
  • Se a tensão atrasa a corrente por -\tfrac{\pi}{2} (tensão 90° atrás) → capacitor.
Aqui encontramos \Delta\varphi=-\tfrac{\pi}{2}: a tensão atrasa a corrente em 90^\circ, ou seja, a corrente está 90^\circ à frente da tensão. Isso é a assinatura de um capacitor. Portanto o elemento é um capacitor.

Passo 4

Vou calcular a impedância (razão fasorial) do elemento, para depois relacioná-la com a fórmula conhecida do capacitor. A impedância é:
\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=\frac{500\angle\frac{\pi}{6}}{1\angle\frac{2\pi}{3}}=500\angle\left(\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}\right)=500\angle\left(-\frac{\pi}{2}\right).
Em forma retangular um ângulo -\tfrac{\pi}{2} corresponde a um múltiplo de -j, então
\mathbf{Z}=500\angle\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-j\,500.
Explicando: -j\,500 significa que a impedância tem magnitude 500 e fase -90^\circ, exatamente o comportamento reativo capacitivo.

Passo 5

Agora uso a expressão da impedância de um capacitor em regime senoidal:
Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}.
Comparando com o valor obtido \mathbf{Z}=-j\,500, igualamos as partes:
-j\frac{1}{\omega C}=-j\,500 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\omega C}=500.
Desse modo o valor do capacitor é
C=\frac{1}{\omega\cdot 500}.
Aqui \omega é a frequência angular fornecida pela expressão temporal ( \omega=157 rad/s), e o 500 vem da relação de amplitudes V_m/I_m.

Passo 6

Faço as contas numéricas com cuidado (mostrando passo a passo para você poder repetir na prova sem calculadora com aproximação):
C=\frac{1}{157\cdot 500}=\frac{1}{78\,500}.
Agora calculo a fração:
\frac{1}{78\,500}\approx 0,0000127389\\ \text{F}.
Escrevendo em microfarads ( \mu\text{F}, onde 1\,\mu\text{F}=10^{-6} F):
C\approx 12,74\\ \mu\text{F}.
Vou repetir o raciocínio curto para memorização: a razão de amplitude V_m/I_m dá o módulo da impedância; se esse módulo tem ângulo -90^\circ é capacitivo; para capacitor Z=1/(j\omega C) e daí isolamos C.

Passo 7

Resumo final (curto e direto) e uma palavra de ânimo: encontramos que o elemento é um capacitor e calculamos C\approx12{,}74\\ \mu\text{F}. Pelo jeito você já ganhou metade da prova só por entender a regra das fases — continue assim, devagar e firme!

Resposta

Capacitor
C=\dfrac{1}{157\cdot 500}=\;1{,}2739\times10^{-5}\\ \text{F}\approx 12{,}74\\ \mu\text{F}

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