Exercicio 2: Dados os pares de expressões para correntes e tensões em componentes elétricos a seguir, verifique se o elemento é um resistor, um capacitor ou um indutor. Em cada caso determine o valor do componente
ou C .
v(t) =500 sen(157 t+π / 6)
i(t) =sen(157 t+2 π / 3)
v(t) =500 sen(157 t+π / 6)
i(t) =sen(157 t+2 π / 3)
Passo 1
O enunciado fornece duas expressões no tempo para tensão e corrente e pede que eu verifique que tipo de elemento é (resistor, capacitor ou indutor) e determine o valor do componente (
,
ou
). As informações dadas são:
Portanto as perguntas são:
- Qual é o tipo do elemento (resistor, capacitor ou indutor)?
- Qual é o valor numérico do componente correspondente (
, ou )?
Passo 2
Primeiro vamos transformar essas ondas senoidais em fasores (representação complexa na frequência angular
). Vou explicar o conceito com calma: um fasor representa a amplitude e a fase de uma sinusoide com uma única frequência
. Se temos uma grandeza no tempo
, o fasor associado é
(amplitude
e ângulo
). Aqui:
- amplitude da tensão é
(unidades: volts), - amplitude da corrente é
(unidades: ampères), - as fases são
e , - a frequência angular é
(rad/s), que aparece como multiplicador de .
Então os fasores são:
Explicando as notações:
é o fasor da tensão (magnitude em volts e fase em radianos) e
é o fasor da corrente (magnitude em ampères e fase em radianos).
Passo 3
Agora calculo a diferença de fase entre tensão e corrente:
Interpretação física (muito importante para decidir o tipo de elemento):
- Se a tensão está em fase com a corrente (
) → resistor. - Se a tensão antecipa a corrente por
(tensão 90° à frente) → indutor. - Se a tensão atrasa a corrente por
(tensão 90° atrás) → capacitor.
Aqui encontramos
: a tensão atrasa a corrente em
, ou seja, a corrente está
à frente da tensão. Isso é a assinatura de um capacitor. Portanto o elemento é um capacitor.
Passo 4
Vou calcular a impedância (razão fasorial) do elemento, para depois relacioná-la com a fórmula conhecida do capacitor. A impedância é:
Em forma retangular um ângulo
corresponde a um múltiplo de
, então
Explicando:
significa que a impedância tem magnitude
e fase
, exatamente o comportamento reativo capacitivo.
Passo 5
Agora uso a expressão da impedância de um capacitor em regime senoidal:
Comparando com o valor obtido
, igualamos as partes:
Desse modo o valor do capacitor é
Aqui
é a frequência angular fornecida pela expressão temporal (
rad/s), e o
vem da relação de amplitudes
.
Passo 6
Faço as contas numéricas com cuidado (mostrando passo a passo para você poder repetir na prova sem calculadora com aproximação):
Agora calculo a fração:
Escrevendo em microfarads (
, onde
F):
Vou repetir o raciocínio curto para memorização: a razão de amplitude
dá o módulo da impedância; se esse módulo tem ângulo
é capacitivo; para capacitor
e daí isolamos
.
Passo 7
Resumo final (curto e direto) e uma palavra de ânimo: encontramos que o elemento é um capacitor e calculamos
. Pelo jeito você já ganhou metade da prova só por entender a regra das fases — continue assim, devagar e firme!
Resposta
Capacitor