Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para expressar como série de potências centrada em zero a função
.
Informações dadas: a função é . A tarefa é escrever essa função como uma série de potências em torno de
(série de Maclaurin) — ou seja, encontrar uma expressão do tipo
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Lembrete útil (aula rapidinha): toda série de Maclaurin de uma função que é suficientemente diferenciável em
pode ser obtida pela série de Taylor centrada em
:
No caso de funções conhecidas como
, já existe uma expansão padrão (que podemos obter aplicando a fórmula acima ou lembrando a periodicidade das derivadas):
Explicando a fórmula da série da cosseno de forma simples: as derivadas de
se repetem em ciclo (
), o que faz com que apenas as potências pares de
apareçam e os coeficientes sejam
.
Passo 3
Agora a ideia prática para essa questão: substituímos
na série de
. Como a expansão é válida para qualquer
, vale também para
. Fazendo a substituição obtemos:
Passo 4
Simplificamos a potência:
. Portanto a série fica
Isso já é uma série de potências centrada em
. Repare que só aparecem potências de ordem múltipla de
.
Passo 5
Mostro os primeiros termos para ficar mais concreto (saiu da soma acima, com
):
Isso ajuda na prova: na hora da prova você pode escrever esses termos para mostrar o padrão.
Passo 6
Queremos também saber os coeficientes na forma
. Observação direta: se
não é múltiplo de
, então
. Se
então
Assim os coeficientes ficam totalmente descritos.
Passo 7
Sobre convergência (importante para responder com segurança): trate a série como uma série em
,
Pelo teste da razão, para qualquer
o fator extra vindo de
faz a razão tender a
, ou use que
é inteira (analítica em todo
). Conclusão: a série converge para todo
(raio de convergência infinito).