1. Expresse a solução do problema de valor inicial y^prime-2 x y=1, y(1)=1 em termos de erf(x).

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y' - 2x,y = 1,
com condição y(1)=1.
Trata-se de uma EDO linear de 1ª ordem, em que
P(x) = -2x e Q(x)=1.
Vamos usar fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -2x,dxr) = exp(-x^2)

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(x), obtemos
ddxl(y,e^-x^2r) = e^-x^2
Agora integramos ambos os lados de 1 até x:

Passo 4

y(x),e^-x^2 - y(1),e^-1 = integral1^x e^-t^2,dt
Como y(1)=1, segue
y(x),e^-x^2 = e^-1 + integral1^x e^-t^2,dt

Passo 5

Sabemos que
integral0^u e^-t^2,dt = raizpi2,erf(u)
Logo
integral1^x e^-t^2,dt = raizpi2l(erf(x)-erf(1)r)
Substituindo em y(x), obtemos
y(x) = e^x^2l(e^-1 + raizpi2l(erf(x)-erf(1)r)r)

Resposta

y(x) = e^x^2l(e^-1 + tfracraizpi2l(erf(x)-erf(1)r)r)

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