As seguintes medições foram realizadas em um quadripolo resistivo. Calcule os parâmetros z do quadripolo. (6 pts)
Medição 1 Medição 2
V_{1}=25 \mathrm{~V} V_{1}=41 \mathrm{~V}
I_{1}=1 \mathrm{~A} I_{1}=1 \mathrm{~A}
V_{2}=0 \mathrm{~V} V_{2}=20 \mathrm{~V}
I_{2}=-500 \mathrm{~mA} I_{2}=0 \mathrm{~A}
\begin{aligned} & V_{1}=z_{11} I_{1}+z_{12} I_{2} \\\ & V_{2}=z_{21} I_{1}+z_{22} I_{2} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular os quatro parâmetros z_{11}, z_{12}, z_{21} e z_{22} do quadripolo, sabendo que as equações que ligam tensões e correntes são
V_{1}=z_{11}I_{1}+z_{12}I_{2}
V_{2}=z_{21}I_{1}+z_{22}I_{2}
Informações fornecidas (das duas medições):
\text{Medição 1: } V_{1}=25\\ \mathrm{V},\; I_{1}=1\\ \mathrm{A},\; V_{2}=0\\ \mathrm{V},\; I_{2}=-500\\ \mathrm{mA}çã
\text{Medição 2: } V_{1}=41\\ \mathrm{V},\; I_{1}=1\\ \mathrm{A},\; V_{2}=20\\ \mathrm{V},\; I_{2}=0\\ \mathrm{A}çã
Observação numérica útil (conversão de unidade):
-500\\ \mathrm{mA} = -0{,}5\\ \mathrm{A}

Passo 2

Montamos as equações numéricas correspondentes a cada medição substituindo os valores nas fórmulas gerais. Para a Medição 1:
25 = z_{11}\cdot 1 + z_{12}\cdot(-0{,}5)
0 = z_{21}\cdot 1 + z_{22}\cdot(-0{,}5)
Para a Medição 2:
41 = z_{11}\cdot 1 + z_{12}\cdot 0
20 = z_{21}\cdot 1 + z_{22}\cdot 0
Explicação curta do porquê: cada medição fornece duas equações lineares nas quatro incógnitas; a segunda medição tem I_{2}=0, o que simplifica muito (ver próximo passo).

Passo 3

Exploração direta das equações da Medição 2 (onde I_{2}=0). Essas equações isolam diretamente z_{11} e z_{21}:
41 = z_{11}\cdot 1 + z_{12}\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad z_{11}=41\\ \Omega
20 = z_{21}\cdot 1 + z_{22}\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad z_{21}=20\\ \Omega
Breve ensino: quando numa medição a corrente do outro porto é zero, o parâmetro z_{ii} é simplesmente a razão entre a tensão do porto i e a corrente no mesmo porto, porque o termo cruzado desaparece.

Passo 4

Agora substituímos z_{11} e z_{21} encontrados nas equações da Medição 1 para obter z_{12} e z_{22}.
Da primeira equação da Medição 1:
25 = z_{11} - 0{,}5\,z_{12}
Substituindo z_{11}=41:
25 = 41 - 0{,}5\,z_{12}
Isolando z_{12}:
25 - 41 = -0{,}5\,z_{12}
-16 = -0{,}5\,z_{12}
z_{12} = \frac{-16}{-0{,}5} = 32\\ \Omega
Da segunda equação da Medição 1:
0 = z_{21} - 0{,}5\,z_{22}
Substituindo z_{21}=20:
0 = 20 - 0{,}5\,z_{22}
Isolando z_{22}:
-20 = -0{,}5\,z_{22}
z_{22} = \frac{-20}{-0{,}5} = 40\\ \Omega

Passo 5

Checagem rápida (substituir os valores finais nas equações originais para confirmar consistência):
Para a Medição 2:
V_{1}=z_{11}I_{1}+z_{12}I_{2}=41\cdot 1 + 32\cdot 0 = 41\\ \mathrm{V}\quad\checkmark
V_{2}=z_{21}I_{1}+z_{22}I_{2}=20\cdot 1 + 40\cdot 0 = 20\\ \mathrm{V}\quad\checkmark
Para a Medição 1:
V_{1}=41\cdot 1 + 32\cdot(-0{,}5)=41 - 16 = 25\\ \mathrm{V}\quad\checkmark
V_{2}=20\cdot 1 + 40\cdot(-0{,}5)=20 - 20 = 0\\ \mathrm{V}\quad\checkmark
Tudo bate, então os valores estão corretos.

Resposta

z_{11}=41\\ \Omega
z_{12}=32\\ \Omega
z_{21}=20\\ \Omega
z_{22}=40\\ \Omega

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